Конашенко А.В., Шерстнева Н.А., Борисов А.В.

Кратные интегралы

Методические разработки

по курсу

«Интегральное исчисление функций

нескольких переменных»

Смоленск 2011

1. Двойные интегралы

1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса

Точно так же, как задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приведет нас к новому понятию – двойного интеграла.

Рассмотрим тело (V), которое сверху ограничено поверхностью

z = f (x, y), (1.1)

c боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – плоской фигурой на плоскости (рис.1.1). Требуется найти объем тела.

Рисунок. 1.1

Для решения этой задачи мы прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область сетью простых кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных цилиндрических столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке M_k . Если приближенно принять каждый столбик за цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным , где означает площадь фигуры . В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

.

Определение 1. Если взять все возможные любые пары точек в области то верхняя грань множества расстояний между ними называется диаметром области, обозначается d.

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех областей , это равенство делается точным, так что

, (1.2)

и поставленная задача решена.

Предел этого вида при условии, что он не зависит ни от выбора разбиения, ни от выбора точек M_k и есть двойной интеграл от функции f (x,y) по области ; он обозначается символом или , так что формула (1.2) для объема принимает вид

. (1.2^*)

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных.

1.2.Определение двойного интеграла

Возьмем произвольную фигуру на плоскости, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Ее границу мы всегда будем представлять в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых).

Определение 2. Область называется квадрируемой, если она имеет площадь.

Замечание 1. В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые области.

Пусть в области определена функция двух переменных . Разобьем область сетью простых кривых на конечное число элементарных областей соответственно с площадями . В каждой элементарной области возьмем по произвольной точке , значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму

(1.3)

будем называть интегральной суммой для функции f (x, y) по области (D).

Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей .

Определение 3. Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметров существует конечный предел интегральной суммы (1.3), и он не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области , ни от выбора точек в каждой элементарной области , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается .

Теорема 1. (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция интегрируема в ограниченной замкнутой области , то она ограничена в этой области.

Теорема 2. (достаточное условие существования двойного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она интегрируема в ней.

Из пункта 1.1. следует геометрический смысл двойного интеграла. Если функция неотрицательна: - и интегрируема в области , то двойной интеграл от функции по области равен объему тела, сверху ограниченного поверхностью , c боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу – областью на плоскости : .