Образец выполнения задания 6
Найдите
предел, используя правило Лопиталя
.
Р е ш е н и е .
=
=
О
т в е т :
.
Задание
7.
Проведите полное исследование функции
и постройте ее график.
7.1.
|
7.2.
|
7.3.
|
7.4.
|
7.5.
|
7.6.
|
7.7.
|
7.8.
|
7.9.
|
7.10.
|
7.11.
|
7.12.
|
7.13.
|
7.14.
|
7.15.
|
7.16.
|
7.17.
|
7.18.
|
7.19.
|
7.20.
|
7.21.
|
7.22.
|
7.23.
|
7.24.
|
7.25.
|
7.26.
|
7.27.
|
7.28.
|
7.29.
|
7.30.
|
Образец выполнения задания 7
Проведите полное исследование функции и постройте ее график.
Р е ш е н и е .
1. Область определения.
D (y):
3 – x 2 ≠ 0,
x 2 ≠ 3,
.
D (y) =
.
2. Непрерывность, точки разрыва.
На
области определения функция является
непрерывной как частное двух непрерывных
функций.
,
– точки разрыва данной функции:
,
;
,
.
Значит,
– точки разрыва второго рода.
3. Четность, нечетность, периодичность.
функция
является нечетной y (x + T)
≠ y (x)
ни для каких значений Т.
Следовательно функция не является
периодической.
4. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
=
=
:
18 x2 – 2 x 4 = 0,
2 x 2 (9 – x 2) = 0
,
.
x = 0, x = – 3 , x = 3.
Критические
точки:
,
x = ± 3,
x = 0.
Критическими точками область определения разбивается на ряд интервалов. Определим знаки производной и поведение функции на интервалах:
x = – 3 – точка минимума, x = 3 – точка максимума. Значение функции в точках экстремума:
y max = y (3) = – 9.
5. Направления выпуклости и точки перегиба.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
:
x = 0,
x 4 + 6 x 2 – 27 = 0,
3 – x 2 ≠ 0.
x 2 = t,
t ≥ 0,
t 2 + 6 t – 27 = 0
t 1 = – 9 – не удовлетворяет ограничению t ≥ 0
t 2 = 3
D (y)
6. Точки пересечения графика с осями координат.
а) Точки пересечения с осью Ох (у = 0):
х = 0.
б) Точки пересечения с осью Оу (х = 0):
Итак, единственная точка пересечения с осями координат (0; 0)
7. Асимптоты.
а) Горизонтальные асимптоты
Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
б) Вертикальные асимптоты
– точки разрыва. В п. 2 исследования было показано, что
;
,
значит, – вертикальные асимптоты.
б) Наклонные асимптоты
Уравнение наклонной асимптоты у = kx + b.
=
=
=
=
Итак, y = –2 x – наклонная асимптота.
8. График
Задание 8. Найдите кривизну и радиус кривизны линии в точке с абсциссой х0.
8.1.
|
8.2.
|
8.3.
|
8.4.
|
8.5.
|
8.6.
|
8.7.
|
8.8.
|
8.9.
|
8.10.
|
8.11.
|
8.12.
|
8.13.
|
8.14.
|
8.15.
|
8.16.
|
8.17.
|
8.18.
|
8.19.
|
8.20.
|
8.21.
|
8.22.
|
8.23.
|
8.24.
|
8.25.
|
8.26.
|
8.27.
|
8.28.
|
8.29.
|
8.30.
|
