Методические указания

При исследовании ПФ на вогнутость (выпуклость вверх) ограничиться проверкой необходимых условий – неположительностью вторых частных производных:

,

где

Поскольку С₁ > 0, знак второй производной определяется знаком выражения

.

Обратите внимание, что при любых допустимых значениях факторов.

Аналогично проводится исследование .

Для проверки условия однородности графическим путем постройте не менее трех графиков функции при фиксированных значениях факторов: x₁ < 1, x₂ < 1; x₁ < 1, x₂ > 1; x₁ > 1, x₂ > 1. Совпадение графиков будет свидетельствовать о выполнении условия, а вид графика позволит оценить значение ν.

Требования к отчету

Аналитическая часть отчета должна содержать:

– общий вид функции Солоу;

– значения параметров ПФ в соответствии с заданием;

– результаты проверки на существенность факторов,

– выражения для первых производных y^’_x1, y^’_x2. с результатами проверки их на неотрицательность;

– выражения для вторых производных y^’’_x1x1, y^’’_x2x2 с результатами проверки их на неположительность;

– результаты проверки ПФ на однородность;

– выражения для следующих характеристик ПФ:

средняя производительность фактора, предельная производительность фактора, относительная производительность–эластичность выпуска по x, эластичность производства, средняя норма замещаемости факторов, предельная норма замены, эластичность замещения.

Численное исследование должно быть представлено в виде 2-х и 3-х мерных графиков, снабженных комментариями к ним.

Лабораторная работа № 2 Изучение свойств абстрактной технологии и измерение технического прогресса Цель работы

Привитие навыков численного исследования параметров абстрактной технологии и измерения технического прогресса.

Задание

На базе производственной функции Солоу проанализировать зависимость выпуска от каждого из параметров абстрактной технологии и оценить вклад экстенсивных и интенсивных факторов в прирост выпуска.

Методические указания

Для измерения вклада интенсивных и экстенсивных факторов вычислить последовательно значения функции Солоу в начальной точке х₀=(х1*,х2*,а0*,а1*,ρ*,ν*) (х₁*<0,9, x₂*<0,9; значения параметров абстрактной технологии а₀, а₁, ρ, ν взять те же, что в лабораторной работе №1) и ее окрестности, задаваемой точками:

х₁=(х₁*+d х₁*, х₂*, а₀*, а₁*, ρ*, ν*),

х₂= (х₁*+ d х₁*, х₂*+ d х₂*,а₀*,а₁*,ρ*,ν*),

х₃= (х₁*+ d х₁*, х₂*+ d х₂*, а₀*+ d а₀*, а₁*,ρ*,ν*),

х₄= (х₁*+ d х₁*, х₂*+ d х₂*, а₀*+ d а₀*, а₁*± d а₁*, ρ*, ν*),

х₅= (х₁*+ d х₁*, х₂*+ d х₂*, а₀*+ d а₀*, а₁*± d а₁*, ρ* ± ρ*,ν*),

х₆= (х₁*+ d х₁*, х₂*+ d х₂*, а₀*+ d а₀*, а₁*± d а₁*, ρ* ± d ρ*, ν*± d ν*).

Замечание. Наличие знака ± указывает на то, что величина соответствующего параметра должна быть изменена так, чтобы значение производственной функции не уменьшилось.

Величину d взять равной 10%.

Вклад текущей переменной в изменение выпуска определяется как разность значений ПФ на данном и предыдущем шагах.

Суммарный вклад экстенсивных факторов (х₁,х₂) в прирост выпуска составит:

Δ_э = (у₁–у₀)+(у₂–у₁) = у₂–у₀,

суммарный вклад интенсивных факторов (а0,а1,ν,ρ) есть:

Δ_и = (у₃–у₂)+(у₄–у₃)+(у₅–у₄₎+(у₆–у₅) = у₆–у₂.

Общее изменение объема выпуска равно

Δ = (у₆–у₀),

относительный вклад экстенсивных и интенсивных факторов в общее изменение объема выпуска составит:

δ_э= Δ_э / Δ, δ_и= Δ_и / Δ.

Провести исследование в окрестности другой начальной точки (х₁*>1,2, x₂*>1,2), сравнить результаты.