Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)

Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n, … – последовательность непрерывных случайных величин, равных друг другу (Х_i = Х_j) с характеристиками М(Х) = а, D(Х) =  (А.М. Ляпунов дал некоторые, довольно общие условия, при которых Х_i могут быть и не равны друг другу). Тогда сумма этих случайных величин асимптотически нормальна:

если , то .

Эта теорема еще раз показывает важность для практических приложений изучения нормально распределенных случайных величин.

Следствие. На основе центральной предельной теоремы строится приближенный алгоритм вычисления вероятности попадания в некоторый интервал ( , ) для биномиально распределенной случайной величины S_n при больших n. Здесь , причем М(S_nⁱ) = р, а  = D(S_nⁱ) = р(1 – р).

Значит , откуда

Р({α < S_n < }) ~ Ф((β – np) / ) – Ф((α – np) / ).

Вопросы для самопроверки

1. Какая случайная величина называется непрерывной случайной величиной?

2. Как связаны между собой функция распределения и функция плотности вероятности?

3. Сформулировать свойства плотности вероятности.

4. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

5. Какая случайная величина называется распределенной по нормальному закону?

6. Дать определение интегральной функции Лапласа. Указать ее свойства и способ практического применения.

7. Дать определение независимости случайных величин.

8. Как определяется коэффициент корреляции. Объяснить его теоретико-вероятностный смысл. Указать свойства коэффициента корреляции.

9. Что называется законом распределения двумерной случайной величины?

Глава 2. Математическая статистика

2.1. Основные понятия математической статистики

В теории вероятностей основная задача заключалась в том, что по известной функции распределения F(x) и функции плотности вероятности p(x) требовалось вычислить вероятность попадания значений случайной величины на заданный интервал : Р(Х ). Однако на практике для реальных случайных величин эти функции не всегда известны. Основными задачами математической статистики, в частности, являются:

1. Собрать и сгруппировать данные наблюдений (измерений), проведенных над случайной величиной Х.

2. По этим данным приближенно определить функцию распределения F(x), функцию плотности вероятности p(x) и другие важнейшие характеристики исследуемой случайной величины Х. При этом необходимо дать оценку достоверности и возможной погрешности полученных результатов.

Соответствие терминологии в теории вероятностей и математической статистике.

Теория вероятностей	Математическая статистика	Приближенные аналоги в математической статистике
Х – случайная величина	Х – генеральная совокупность	–
М(Х) – математическое ожидание	– генеральное среднее	– выборочное среднее
D(Х) – дисперсия	Dг – генеральная дисперсия	Dв – выборочная дисперсия
Р – вероятность	то же	W – относительная частота
F(x) – функция распределения	то же	F*(x) – эмпирическая функция распределения
p(x) – плотность вероятности	то же	– гистограмма относительных частот
– коэффициент корреляции	то же	– выборочный коэффициент корреляции

Выборкой (х₁, х₂, …, х_n) объема n называется результат n наблюдений (измерений), проведенных над исследуемой случайной величиной (генеральной совокупностью) Х.

К выборкам в математической статистике предъявляется требование репрезентативности (представительности). Это означает, что

– должен быть обеспечен полностью случайный выбор n значений;

– выборка должна иметь достаточно большой объем (желательно, n > 40–50).