Глава 4

Классическая логика предикатов

Логика предикатов – логическая теория, в которой вводятся параметры трех типов для выражений естественного языка: для предикатных выражений, функторных и для логических имен. В классической логике предикатов продолжают действовать принцип двузначности классической логики высказываний: каждое высказывание принимает в точности одно из двух значений – истина (истинно) или ложь (ложно). Принцип функциональности работает для связок логики высказываний, но в логике предикатов вводятся две новые логические операции, которые не функциональны – кванторы: $ и . В естественном языке символу $ – квантору существования – соответствуют выражения некоторый, какой-то, существует, найдется, какой-нибудь и т.п., а символу  – квантору общности – соответствуют выражения любой, всякий, произвольный, все, каждый и т.п.

Тема 1: Язык классической логики предикатов первого порядка

Основные понятия, которые необходимо усвоить: логические и нелогические символы в ЯКЛП1 = язык классической логики предикатов с символом равенства = (ЯКЛП1=) логические и нелогические символы в ЯКЛП1 правильно построенные выражения ЯКЛП1: терм и формула ЯКЛП1= графы, соответствующие процедуре построения термов и формул ЯКЛП1= область действия квантора свободные и связанные переменные предложение ЯКЛП1 = (замкнутая формула)

Алфавит ЯКЛП¹⁼ (перечень исходных символов)

I. Нелогические символы:

1. a, b, c, a₁, b₁, c₁, a₂… - индивидные (предметные) константы;

2. fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, g₁ⁿ, h₁ⁿ, f₂ⁿ,… - функциональные константы;

3. Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, P₁ⁿ, Q₁ⁿ, R₁ⁿ, S₁ⁿ, P₂ⁿ … – предикатные константы;

4. x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂… - индивидные (предметные) константы.

II. Логические символы:

, , , , , , Т, $, , =.

III. Технические символы: левая и правая скобки и запятая: ( ) , .

Терм ЯКЛП¹:

1. всякая индивидная константа (a, b, c, a₁, b₁, c₁, a₂ и т.д.) есть терм;

2. всякая индивидная переменная (x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂ и т.д.) есть терм;

3. если Fⁿ есть какой-либо n-местный функциональный символ (fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, g₁ⁿ и т.д.) и о последовательностях символов t₁, t₂,…, t_n известно, что каждый из них есть терм, тогда термом также будет такая последовательность символов: Fⁿ(t₁, t₂,…, t_n).

4. терм есть последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

Примеры термов

1. b - по п.1

2. b₄₁₁ – по п.1

3. x₁ – по п.2

4. h¹(z) – по пп.2,3

5. h²(c,с) – по пп.1,3

6. h¹(h¹(z)) – по пп.2,3

7. f²(h¹(z),a) – по пп.1,2,3

8. f²(h¹(z), h²(y,z)) – по пп. 1,2,3

9. g³(h¹(h¹(а)), a, с) – по пп.1,3

Определение терма носит чисто синтаксический характер: оно задает некоторый класс записей, составленных из символов алфавита нашего языка, но не аппелирует к возможным смыслам этих записей, т.е. сами записи, подпадающие под определение терма, рассматриваются просто как последовательности некоторых объектов. Но эта дефиниция вводилась, разумеется, для того, чтобы впоследствии связать с ней осмысленные выражения некоторого типа, а именно: задающие объекты. Покажем (в предварительном порядке), как записи, имеющие вид терма, определяют структуры имен и именных форм. Так, структуру h¹(h¹(а)) имеют выражения 6²², 5, отец отца Сократа. А такую форму как f²(a,h¹(z)) имеют, например, выражения 5+z², 7-z³, +y, 5у⁴, 5sinx.

Формула ЯКЛП¹⁼:

1. , Т – формулы;

2. если Рⁿ есть какой-либо n-местный предикатный символ (Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, P₁ⁿ и т.д.), а t₁, t₂,…, t_n – термы, тогда последовательность символов

Рⁿ( t₁, t₂,…, t_n) является формулой;

3. если t₁, t₂ – термы, тогда последовательность t₁=t₂ есть формула;

4. если А – формула, тогда А тоже формула;

5. если А и В – формулы, тогда (АВ), (АВ), (АВ), (АВ) – формулы;

6. если К – квантор ($ или ),  - индивидная переменная и А – формула, тогда следующая последовательность также является формулой: КА;

7. формулой является последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-7.

Самые простые (в смысле построения) формулы назовем атомарными. Атомарная (элементарная) формула – формула, построенная по каким-то из пунктов 1-3.

Формулы, процедура построения которых включает хотя бы один из пп.3-6 назовем составными (сложными, молекулярными).

Вместо  t₁=t₂ будем писать t₁t₂.

Примеры атомарных формул



P¹(a) (читается «Р от а»; подразумевается объект а обладает свойством Р)

P¹(x)

P¹(f¹(а)) (читается «Р от f от а»; подразумевается объект, сопоставленный объекту а функцией f, обладает свойством Р)

R²(x,a) (читается «R от х, а»; подразумевается свойство находится в отношении R с объектом а)

R²(y,y)

R²(y₁₁,y)

R³(f¹(c), f¹(a), a)

R³(f¹(c), f¹(a), h²(y,z))

a=b

f¹(a)= h¹(h¹(с))

f¹(a)= h¹(g²(y,z))

Примеры термов и формул

Примеры составных формул

$xP(x)

$x(P(x)&Q(x)) (главный знак - )

$xP(x)&Q(x) (главный знак - )

yzQ(z,f¹(y)) (главный знак – квантор y )

yzQ(z,y) (главный знак - )

xyR(x,y)yzQ(z,y) (главный знак - )

x(yR(x,y)zQ(z,x)) (главный знак - квантор x)

R(x,y)Q(z,x) (главный знак - )

 (a=b  c=b) a b (главный знак - )

Примеры неправильно построенных выражений (не термы и не формулы)

1. ху. Ошибка: х и у – термы, а связка  (так же, как , , ), могут связывать только формулы.

2. f¹(Q¹(a)). Ошибка: после одноместного функционального символа (f¹) должен стоять один терм, а в нашем случае в скобках стоит формула - Q¹(a).

3. х  у. В этой записи два неправильно построенных выражения – х, у – соединены конъюнкцией. х – неосмысленная запись, поскольку в нашем языке отрицание может относится к структуре предложения (формуле), а не к терму (х - терм). То же с у.

4. P²(Q¹(a),S¹(a)). Ошибка: после символа двухместного предиката (P²) в скобках должны находиться два терма, а в нашей записи стоят две формулы (Q¹(a) и S¹(a)).

5. ∀x. Кванторы используются только при построении формулы, но в составе формулы в обязательном порядке должны присутствовать а) предикатные символы(Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, P₁ⁿ и т.д.), либо б) выделенный предикатный символ равенства, либо в) логические константы (, Т). В нашей записи их нет.

6. ∀x  ∃y. Слева и справа от импликации должны стоять формулы, а в примере 6 слева и справа от знака  стоят не формулы, а неправильно построенные выражения (см. предыдущий пример).

7. ∀xР¹(х)  ∃yР¹(∃х). Плохое место: Р¹(∃х). В скобках после одноместного предиката Р¹ должен стоять аналог имени – терм, а ∃х - не терм (в состав термов не входят кванторы). Если убрать из примера 7 символ квантора существования, тогда получим формулу ∀xР¹(х)∃yР¹(х).

8. Р(а)=Р(с). Ошибка: символ равенства связывает термы, а в этом примере слева и справа от равенства стоят формулы.

9. $x"yR(x,y)ÉØ$y"аØR(x,а). Ошибка: запись "а невозможна, после квантора сразу должна идти переменная (x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂ и т.д.), а не константа (а – индивидная константа)¹.

10. Ø$y"ØR(x,у). Ошибка: после квантора общности (") нет переменной.