МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

РІВНЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ ЇЇ ВИКЛАДАННЯ

Сілков В.В., СІЛКОВА Е.О.

МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ (ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ЗАГАЛЬНИХ ПИТАНЬ МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ)

Методичні вказівки до вивчення курсу

методики викладання математики у

початкових класах для студентів

спец. № 7.01.01.02 “Початкове навчання”,

спец. № 7.01.01.01 “Дошкільне виховання,

початкове навчання”

РІВНЕ - 2004

Сілков В.В., Сілкова Е.О. Методика викладання математики у початкових класах: Загальні питання методики викладання. //Методичні вказівки до вивчення курсу методики викладання математики у початкових класах для студентів спец. № 7.01.01.02 “Початкове навчання”, спец. № 7.01.01.01 “Дошкільне виховання, початкове навчання”. – Рівне, РДГУ, 2004. – 112 с.

Друкується за рішенням Науково-методичної ради РДГУ (протокол № ___ від “___” ___________2004 р.).

Рецензенти: В.В.Коваль, кандидат педагогічних наук, доцент РДГУ; Набочук Ю.К., кандидат педагогічних наук, доцент Міжнародного університету РЕГІ ім. С.Я.Дем’янчука.

Відповідальний за випуск кандидат педагогічних наук, проф. В.В.Сілков, зав. кафедрою математики та методики її викладання РДГУ.

Методичні вказівки схвалені і рекомендовані до друку методичною комісією кафедри математики та методики її викладання РДГУ (протокол № ___ від “___” _______2004 р.)

Тема: методика викладання математики в початкових класах як наука та навчальний предмет. План

1. Завдання та зміст методики навчання математики у початкових класах школи.

2. Зв'язок методики навчання математики з іншими науками.

3. Методи дослідження, що використовуються методикою навчання математики.

4. Теоретико-методичні основи визначення завдань навчання математики в І-ІУ класах.

5. Теоретико-методичні основи визначення змісту курсу математики початкових класів: арифметичний, алгебраїчний і геометричний матеріал, величини, текстові задачі.

6. Теоретико-методичні основи побудови початкового курсу математики.

7. Зв'язок курсів математики І-ІУ і У-УІ класів та наступність у їх вивченні.

ЛІТЕРАТУРА: І. Основна: [1]. Богданович М., Козак М., Король Я. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. посібник. – 2-е вид., перероб. і доп. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2001. –368 с. (С. 3-28); [2]. Моро М.Г., Пишкало А.М. Методика навчання математики в І-ІІІ класах. – К.: Рад. школа, 1979. – 376 с. (С. 5-32) - [3]. Бантова М.О., Бельтюкова Г.В., Полевщікова Г.М. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Рад. школа, 1979. – 336 с. (С. 6-17); [4]. Методика начального обучения математике. //Под ред. Л.Н.Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. 320 с. (С. 7-22).

І. У наш час важко знайти галузь людської діяльності, яка б обходилася без математики. Сфери її практичних застосувань невпинно розширюються. Математичні методи проникли у медицину, психологію, лінгвістику, історію та інші науки. Спостерігається збільшення не тільки кількості наукових дисциплін, які не обходяться без математики, але й обсягу використовуваних ними математичних знань. Сказане дає підставу стверджувати, що найважливішим компонентом загальної середньої освіти та й загальної культури сучасної людини повинна бути математична освіта, основи якої починають закладатися ще у першому класі. Шкільна математична освіта включає в себе навчання математики, яке повинне озброїти учнів певним колом математичних знань, вмінь і навичок, сформувати прийоми мислення і способи пізнання, сприяти вихованню і розвитку особистості. Успішне розв’язання цих завдань неможливе без передачі новому поколінню математичних знань і досвіду всіх попередніх поколінь.

Зрозуміло, що передати весь досвід неможливо. Саме тому з цього досвіду треба вибрати найголовніше і розв'язати питання про те, як за мінімальний час найефективніше передати відібраний матеріал. Така передача може йти, як правило, або шляхом спроб і помилок, або шляхом, який враховує закономірності навчального процесу. Перший шлях більш довготривалий, але й більш корисний для розвитку особистості, бо міцнішими будуть знання здобуті в результаті самостійної діяльності. Другий шлях дозволяє заощадити час, що має неабияке значення при обмеженій тривалості життя людини. Отже, пошуком найбільш ефективних шляхів навчання математики підростаючого покоління й займається методика викладання. Але саме обмеженість людського життя змусила придумати процес, під час якого відбувається передача цього досвіду – навчання. Історія людства знає різні форми організації навчання - від індивідуальних до групових. Суспільство завжди вимагало від школи високоосвічених людей. Щоб це зробити, були розроблені навчальні предмети, в яких концентрувався відібраний і спеціально педагогічно оброблений комплекс знань, умінь та навичок з тієї чи іншої галузі знань. Одним з таких предметів є математика, яка в школі вивчається з першого по шостий клас.

Проблема створення навчального предмета виявилася дуже важкою проблемою. А для того, щоб передати дітям зміст навчального предмету, з'являється методика викладання. Всі методики викладання мають у своїй основі педагогіку. Методика викладання математики є педагогічною наукою, яка розглядає процес навчання математики у школі. Вона розглядає теоретико-методичні основи визначення мети і завдань навчання математики, визначає принципи побудови і вибору змісту програми і підручників, обґрунтовує теоретико-методичні основи організації, методів і прийомів навчання, виховання і розвитку дітей у процесі навчання математики. Як і всяка наука методика навчання математики має свою понятійну систему, основними поняттями якої є мета навчання, зміст навчання, методи навчання, форми організації навчання, викладання, учіння тощо.

До 90-х років ХХ століття основним завданням математики було озброєння всіх учнів єдиним обсягом знань, умінь і навичок. Після проголошення у 1991 році незалежності України розпочалася розбудова національної системи освіти України на принципах національності, природовідповідності, особистісної зорієнтованості, народності, демократичності тощо. Основні напрямки цієї роботи визначені у нормативних документах, серед яких слід назвати Державну національну програму “Освіта (Україна ХХІ століття)”, Національну доктрину розвитку освіти, закон “Про освіту”, Державні освітні стандарти, концепції різних типів шкіл і ланок загальноосвітньої школи тощо. У зв'язку з цим відбувся перегляд основних підходів до процесу навчання математики. Історія розвитку методики викладання математики свідчить, що труднощі у її розвитку обумовлені складністю подолання розриву між математичною наукою і шкільною математикою, належністю її до прикордонного розділу педагогіки на стиці філософії, математики, логіки, психології, біології, кібернетики, мистецтва.

Предмет дослідження методики викладання математики як науки – це процес навчання математики, який на сучасному етапі розглядається як два взаємозв’язаних види діяльності: педагогічна діяльність вчителя або викладання та навчальна діяльність учнів або учіння. Разом з тим, процес навчання з інших точок зору досліджують і інші науки: дидактика, психологія, фізіологія вищої нервової діяльності, шкільна гігієна, соціологія тощо. Таким чином, визначення методики викладання математики як науки про навчання математики ще не доводить права на існування такої наукової галузі. Таке право обумовлюється наявністю специфічних наукових проблем, що висунуті навчанням математики і відмінні від предметів дослідження інших наук. Такими проблемами є теоретико-методичні основи визначення цілей, змісту, вибору методів, засобів і форм організації навчання математики.

Іноді вчені-математики висловлюють думку про те, що методика викладання математики не наука, а сукупність рецептів або мистецтво. Це обґрунтовується тим, що у методиці викладання математики немає чітких означень, точних доведень, а використовувані поняття запозичені з інших наук і спостерігається велика плутанина у термінології. Однак з наведеного слід робити висновок не про те, що методика викладання математики не наука, а про те, що вона є незавершеною наукою і потребує значних теоретичних узагальнень накопиченого експериментального матеріалу. Зрозуміло, що без методики викладання математики можуть обійтися лікарі, агрономи, інженери тощо. Методичні знання потрібні вчителям, які навчають математики дітей, бо фундаментальні знання з математики тільки одна з передумов досягнення успіхів у навчанні школярів математики.

Термін "методика математики" запропонований у 1836 році видатним німецьким математиком А.Дістервегом (1790-1866). Слід зазначити, що поряд з вказаним терміном у 60-80-х роках з’являються терміни "педагогіка математики" (А.Столяр, А.Фуше), "дидактика математики" (М.Метельський) та ін. Науковці, які їх застосовують, по-різному обґрунтовують доцільність використання того чи іншого терміну. Оскільки детальний аналіз правомірності їх застосування не є завданням нашої роботи, то тих, хто бажає виробити власну думку щодо використання того чи іншого поняття і терміна та більш ґрунтовно з цим ознайомитися, відсилаємо до таких джерел М-11, С-20, Ф-10. Не віддаючи переваги жодному з нових термінів, зазначимо, що їх поява яскраво вказує на витоки методики викладання математики. Разом з тим спільним для науковців, які застосовують перший, другий чи третій із названих термінів, є те, що до основних завдань, які повинні розв’язати ці наукові дисципліни, вони відносять принаймні такі: 1) теоретико-методичні основи визначення цілей вивчення математики; 2) обґрунтування теоретико-методичних основ визначення змісту навчального предмету математика на тій чи іншій ступені навчання; 3) виявлення теоретико-методичних основ використання тих чи інших методів і прийомів навчання; 4) розробка теоретико-методичних основ добору засобів навчання відповідно до вікових, психологічних і індивідуальних особливостей дітей; 5) обґрунтування теоретико-методичних основ вибору організаційних форм навчального процесу; 6) виявлення теоретико-методичних основ вивчення окремих розділів, тем, питань курсу математики. Отже, узагальнюючи сказане, можна на підставі аналізу досліджень останніх років твердити, що методика навчання математики повинна дати відповідь принаймні на наступні запитання, які тісно пов’язані між собою: Для чого навчати математики? Яким повинен бути зміст виучуваного курсу математики? (Що вивчати?) Як навчити математики?

Методика викладання математики є педагогічною дисципліною, а тому цілком обґрунтовано шукати її витоки у педагогіці, зокрема, у дидактиці. Основоположником дидактики справедливо вважається Я.А. Коменський (1592-1670), який обґрунтував не тільки загальні дидактичні принципи навчання і класно-урочну систему, але й значну увагу приділив методам навчання арифметики. Існуючи спочатку як окремий розділ педагогіки, методика викладання математики виділилася в окрему галузь педагогічної науки. Загальновизнано, що відлік у її становленні ведеться з 1803 року, коли відомий швейцарський педагог І.Г.Песталоцці (1746-1824) видав свої книжки “Наглядное учение о числе” і "Азбука наглядности или Наглядное учение об измерении". Саме їх вважають першими підручниками з методики викладання математики. Саме він винайшов і обґрунтував доцільність використання такого важливого засобу ознайомлення учнів з нумерацією, як арифметичний ящик. Крім цього він вважається основоположником дидактики початкового навчання ще й тому, що розробив загальні педагогічні проблеми навчання молодших школярів, зокрема навчання їх арифметики. Досить цікавий методичний матеріал з математики представлений у роботах видатного українського педагога К.Д.Ушинського (1824-1870), який вніс значний вклад у розробку методики вивчення лічби. Для більш детального ознайомлення з історією розвитку методики викладання математики пропонуємо ознайомитися з роботами М-4, М-20, В-4, А-2.

Як і всяка наукова дисципліна методика навчання математики має свою структуру, серед компонентів якої можна виділити принаймні наступні: 1) загальна методика викладання математики (надалі з метою економії місця замість словосполучення “методика викладання математики” будемо застосовувати абревіатуру МВМ), яка розглядає цілі, зміст, методи, засоби та форми організації навчання; 2) конкретна МВМ, яка розглядає питання теоретико-методичних основ викладання окремих розділів курсу (нумерація чисел, арифметичні дії, геометричний матеріал тощо); 3) спеціальна МВМ, яка розробляє теоретико-методичні основи процесу навчання математики дітей з різноманітними вадами фізичного і розумового розвитку (зору, слуху).

Курс методики викладання математики у початкових класах вивчається студентами вищих навчальних закладів ІІ-ІУ рівнів акредитації, що ведуть підготовку вчителів математики та початкових класів. Оволодіти змістом курсу МВМ це означає засвоїти предмет і завдання МВМ, усвідомити теоретико-методичні основи вибору методів, засобів і організаційних форм навчання математики молодших школярів, засвоїти теоретико-методичні основи вивчення арифметичного, алгебраїчного і геометричного матеріалу, оволодіти теоретико-методичними основами вивчення основних величин, навчання учнів розв'язувати текстові задачі та роботи вчителя у малокомплектній школі. Отже, виходячи із змісту навчального предмету МВМ у початкових класах, відповідь на запитання “Для чого вивчати?” будемо шукати у підручниках з цієї навчальної дисципліни, на запитання ”Що вивчати?” – у програмі і підручниках, на запитання “Як навчати?” – у підручниках з МВМ, у методичних посібниках для вчителів і фахових журналах “Початкова школа”, “Математика в школі”, “Начальная школа”, “Математика в школе” та ін.

Останнім часом у психолого-педагогічній і методичній літературі досить часто почали застосовуватися такі терміни, як модель навчання, технологія навчання. Як правило, це пов’язується з виникненням альтернативних систем навчання. На жаль, досить часто ці поняття трактуються як рівнозначні. Щоб цього не було, то на основі аналізу практики їх застосування відзначимо, що співвідношення між ними можна представити у вигляді схеми (див. схему 1).

С

Схема – 1.

2. Шкільний курс математики являє собою сукупність різних питань і різноманітних галузей математики. Таке поєднання різних розділів науки у шкільному курсі математики має задовольняти таким вимогам: у шкільному курсі математики повинні бути достатньо повно представлені у доступній для учнів формі основи сучасної математики; між представленими у навчальному предметі "математика" різними розділами науки математики повинен існувати певний взаємозв’язок, щоб забезпечити їх систематичне вивчення. Таким чином, вже виконання вказаних вимог спричиняє виникнення протиріччя між рівнем розвитку науки "математика" і віковими можливостями дітей у засвоєнні математики. Виявляється, що подолати це протиріччя дуже важко. Саме тому одним із завдань методики викладання математики вважається знаходження шляхів і засобів подолання або згладжування цього протиріччя.

Як вже зазначалося, методика викладання математики належить до циклу педагогічних дисциплін, бо до ХУІІІ століття всі питання процесу навчання розглядалися у педагогіці. Тільки, накопичивши достатньо емпіричного матеріалу про процес навчання математики, методика виділилася у окрему науку. Процес навчання є багатофакторним явищем, а тому МВМ, будучи суспільною педагогічною наукою, не може бути тісно не пов'язаною з іншими суспільними науками, бо виникла саме на стиці цих наук, і не спиратися на результати проведених ними досліджень.

Взаємозв’язки методики викладання математики з іншими науками можуть бути двох видів: прямі та непрямі. Прямі здійснюються для розуміння особливостей мислительних процесів учнів під час їхнього навчання, виховання та розвитку. Методологічною основою для організації наукових пошуків і теоретичних узагальнень накопиченого методикою викладання математики емпіричного матеріалу є філософія, зокрема теорія пізнання. Методичне дослідження можливе тільки на основі таких найважливіших принципів методу пізнання: будь-яке явище слід розглядати таким, яким воно є насправді у реальній дійсності; при вивченні явищ потрібно спиратися на факти, доступні спостереженню та перевірці іншими дослідниками; явища слід вивчати у їх нерозривному зв’язку з тим, чим вони викликаються, та з відповідними діями людей; вивчення педагогічних явищ потрібно проводити у взаємозв’язку із зовнішніми умовами життя та діяльності людей; слід вивчати взаємовідносини та взаємовплив різних компонентів педагогічної діяльності; процес навчання потрібно розглядати і вивчати в історичному розвитку, у динаміці, в єдності з розвитком і вихованням.

Предметом методики викладання математики є процес навчання дітей. Отже, вона не може не бути тісно пов’язаною з педагогікою, зокрема з дидактикою. У дидактиці розробляють загальні питання змісту і побудови навчальних предметів, досліджують цілі, методи, засоби і форми навчання, а в курсі методики викладання математики названі питання розглядаються стосовно специфічних потреб процесу навчання учнів математики. Разом з тим, успіхи у дослідженні питань навчання математики можуть уточнювати, вдосконалювати теорію навчання, ставати основою для загальнодидактичних узагальнень. Методика викладання математики спирається і на теорію виховання, бо навчання математики, окрім освітніх, виконує ще й важливі виховні функції.

Рівень розвитку науки математики впливає на методику викладання математики, сприяє розвитку шкільного курсу математики і модернізації його змісту (Більш детально з проблемами модернізації шкільної математичної освіти можна ознайомитися у посібниках А-2, В-4, Л-4, М-4, М-20, О-11, П-7, П-10, С-11, У-6, Э-5 та ін.). Залежно від того, які ідеї математики у той чи інший період її розвитку одержують пріоритет у поясненні явищ навколишньої дійсності, проводиться відбір змісту математичного матеріалу для шкільного курсу та використовується те чи інше трактування застосовуваних у курс математики середньої школи понять. З метою пристосування відібраного із математики матеріалу до вивчення у школі методика викладання математики проводить його "методичну обробку", тобто підбирає методи, засоби та організаційні форми навчання. Для глибокого розуміння методики та її творчого застосування у повсякденній роботі вчителеві потрібно добре володіти курсом математики та бути ознайомленим із сучасними трактуваннями найголовніших математичних понять, що вивчаються у початковій школі. Такий матеріал можна знайти у таких посібниках: К-47, Т-11 та ін.

Зв’язок з логікою проявляється, з одного боку, в тому, що навчання математики є одночасно і навчання її логіко-математичній мові, а з другого - сама математика використовує закони логіки. Отже, навчаючи математики, ми, у певній мірі, навчаємо і логіці. Таким чином, визначені елементи логіки повинні стати невід’ємною складовою частиною самого курсу математики І-ІУ класів, його важливим робочим інструментом, який підвищує результативність навчання та його вплив на логічний розвиток молодших школярів. Методика викладання математики не може не використовувати досягнень загальної, вікової та педагогічної психології і не спиратися на них. При навчанні використовують сприймання як основу пізнавального процесу. Навчання не може не спиратися на уявлення і різні види пам’яті -короткочасну, оперативну і довготривалу. Досить істотну роль у навчанні відіграє мова та мовлення, а особливе місце займає мислення. При вивченні математики важлива роль відводиться уяві, особливо просторовій. Значною мірою успіх у навчанні залежить від інтересу, уваги, волі. При вивченні математики слід орієнтуватися на особливості як певної групи учнів, так і на особливості окремих учнів. Отже, без знання закономірностей розвитку особистості, психіки людини, вікових та індивідуальних відмінностей дітей молодшого шкільного віку методика викладання математики не зможе оптимально розробляти найбільш ефективні методи, засоби та форми організації навчання, обирати цілі та зміст навчання. Врахування психологічних факторів передбачає досягнення максимально можливих на даному етапі результатів розвитку учнів, прискорення переходу школярів на більш високий рівень мислення.

Результати досліджень фізіології вищої нервової діяльності знаходять застосування при розробці проблем методики викладання математики. Так, вироблення алгоритмів арифметичних дій стають у процесі навчання рядами умовних рефлексів, які будуть міцними лише за свідомої, систематичної і наполегливої роботи з учнями. Діяльність великих півкуль головного мозку пов’язана як з першою, так і з другою сигнальними системами, а успіх у навчанні, у значній мірі, залежить від своєчасного збагачення другої сигнальної системи школярів. Для того, щоб правильно організувати педагогічну діяльність вчителя, навчальну діяльність учнів, попередити перевантаження школярів, не допустити погіршення здоров’я дітей методиці викладання математики доводиться використовувати результати досліджень шкільної гігієни. Методика викладання математики у процесі розв’язування своїх проблем має справу із спілкуванням між учнями і вчителем, між учнями, між вчителем і учнем, а тому вона використовує закономірності, вироблені соціологією. У процесі навчання учнів математики методиці викладання математики доводиться мати справу з управлінням процесами навчання, розвитку та виховання учнів, а тому слід використовувати знання з теорії управління педагогічним процесом. Це можна знайти у кібернетиці та теорії управління.

Педагогіка, розробляючи загальні основи навчання і виховання є теоретичної основою МВМ. Методика викладання математики історично складалася як узагальнення досвіду роботи вчителів. У зв’язку з цим серед наукоців-предметників і педагогів-практиків зустрічається думка про те, що головне у викладанні математики – це майстерність педагога, а це мистецтво, яке не піддається будь-якому поясненню або опису. Не обґрунтовуючи хибність такої думки, лише зазначимо, що люди мистецтва вже давно прийшли до такого висновку: і мистецтву треба вчитися, і мистецтвом треба оволодівати. Отже, для досягнення вершин педагогічної майстерності потрібно володіти теоретичними та практичними знаннями з методики викладання математики, що дасть змогу вчитися не на своїх помилках. Особливо це важливо в наш час, коли методичні рекомендації з різних аспектів методики математики одержують на основі психолого-педагогічних досліджень та попередньої перевірки в практиці роботи окремих вчителів.

3. На сучасному етапі розвитку школи в силу підвищення рівня освіченості вчителів початкових класів, досягнень методики викладання математики та наук, результатами досліджень яких вона користується, основним джерелом одержання методичних рекомендацій стали результати педагогічних експериментів. Саме тому постає питання про методи дослідження, що використовуються в методиці викладання математики. МВМ, як і всяка педагогічна наука використовує весь спектр наукових методів дослідження, які поділяють на теоретичні і експериментальні. До групи теоретичних методів наукових досліджень відносять аналіз психолого-педагогічної та методичної літератури, вивчення продуктів діяльності вчителів і учнів (письмові роботи школярів, конспекти уроків вчителів, класні журнали, контрольні роботи, календарні плани, конспекти позакласних і позаурочних занять тощо). До групи експериментальних методів дослідження, що використовуються у МВМ для доведення чи спростування висловлених теоретичних гіпотез, які стосуються удосконалення різноманітних компонентів методичної системи початкового навчання математики, належать спостереження за навчальним процесом, анкетування вчителів і учнів, лабораторний і природний експерименти. Отже, у методичних дослідженнях використовуються ті ж самі методи дослідження, що і в педагогічних дослідженнях, а саме спостереження, педагогічний експеримент, вивчення шкільної документації та продуктів діяльності вчителів та учнів, бесіди, анкетування, моделювання, математичні і кібернетичні методи.

Досвід показує, що практично всяке дослідження починається з вивчення літератури. За допомогою цього методу ознайомлюються з фактами, історією розвитку та сучасним станом проблеми, створюються початкові уявлення про предмет та об’єкт дослідження, визначають вихідну концепцію, відшуковуються нерозв’язані аспекти в даній проблемі. Спостереження - це метод, який може використовуватися як самостійно, так і бути складовою частиною більш складних методів дослідження. Суть методу спостереження полягає в безпосередньому сприйманні процесу навчання за допомогою органів відчуття. В основі спостереження лежить сприймання як психічний процес. При організації спостереження слід виділити об’єкти (найчастіше це процеси діяльності вчителя та учнів), поставити цілі (звернути увагу на ті чи інші сторони діяльності, на ті чи інші зв’язки або взаємовідносини тощо), скласти план (послідовність спостереження, порядок і спосіб фіксації його результатів тощо). За ознакою часової організації виділяють неперервне чи дискретне спостереження, за обсягом – широке та вузькоспеціальне, за типом зв’язку між спостерігачем і досліджуваними – невключене (спостерігач не є учасником діяльності) і, коли спостерігач є учасником діяльності. Спостереження має свої позитивні (об’єкт вивчається в цілісності та розчленованості, у природному функціонуванні) та негативні (не можна активно вмішуватися в навчальний процес, змінювати ситуацію, виконувати точні заміри) сторони.

У методичних дослідженнях широко використовується і метод бесіди, яка може проводитися як з учнями, так і з вчителями за певним планом, який включає прямі та непрямі запитання. Відповіді досліджуваних потрібно обов’язково фіксувати. Матеріали бесід доповнюють дані спостереження, експерименту. Метод анкетування в методичних дослідженнях є, як правило, джерелом одержання матеріалу, необхідного для початкового аналізу і організації подальшого дослідження. Такий матеріал характеризує в самому загальному плані роботу вчителя з тієї чи іншої проблеми. Анкета може бути іменною чи анонімною, вимагати вибору однієї чи кількох альтернатив або ж і поширеної відповіді. Використання в методичних дослідженнях продуктів діяльності учнів (класні та домашні, контрольні та самостійні роботи, зошити тощо) дозволяє дослідникові відслідковувати процес формування знань, вмінь і навичок, рівень їх сформованості як у цілому, так і в окремих учнів, виявляти типові помилки, з’ясовувати деякі причини їх виникнення. Вивчення продуктів діяльності вчителя (конспекти уроків, виготовлені наочні посібники, дидактичні матеріали тощо) дозволяють з’ясовувати основні компоненти системи роботи, знаходити причини високої чи низької результативності педагогічної діяльності вчителя.

Експеримент - це також спостереження, що проводиться в спеціально організованих умовах, які точно враховують. Його відмінність від спостереження полягає у тому, що дослідник активно вмішується у навчальний процес, змінює його побудову відповідно до завдань і планів дослідження, видозмінює ряд умов і таким чином визначає їх вплив на досліджуване явище, встановлює залежності або закономірності функціонування розглядуваного явища. Залежно від форми проведення розрізняють природній, що проводиться в звичайному класі на уроці з усіма учнями, та лабораторний, що проводиться в спеціально створених умовах, експерименти. За дослідницьким призначенням розрізняють констатуючий, який дає зріз стану досліджуваного об’єкта на даний час, перевірочний, що дозволяє перевірити припущення, одержати або уточнити окремі факти, і формуючий або перетворюючий експеримент, який передбачає впровадження нових змісту, методів, засобів чи форм організації навчання в навчальний процес. Для достовірності даних проведеного експерименту не слід створювати при його проведенні "тепличних" умов і виключати одержання негативних результатів. На констатуючому етапі з’ясовується стан дослідження проблеми в сучасній психолого-педагогічній і методичній науках і практиці. Під час формуючого експерименту навчання відбувається за методикою, яка розроблена дослідником і яку він вважає ефективнішою за традиційну. На цьому ж етапі обов’язково ведуться щоденні спостереження за процесом і результатами навчання. На контрольному етапі у контрольних (вони навчалися за традиційною методикою) і експериментальних (вони навчалися за новітньою методикою) класах проводяться заміри досягнутих результатів, які співставляються, а потім робляться висновки про ефективність чи неефективність експериментальної роботи. Більш детально ознайомитися з специфікою методів дослідження, які використовує методика викладання математики, можна у таких посібниках: [3-6], [M-34], [Ш-8]. У курсах педагогіки, психології Ви знайомилися із сутністю, структурними компонентами та особливостями кожної групи названих методів дослідження. Саме тому пропонуємо читачам виконати завдання №№ 16 і 17 для самостійної роботи та самоконтролю.

4. Школа є соціальним інститутом, який на протязі всієї історії людства виконував замовлення суспільства або окремих його груп на підготовку підростаючого покоління. Саме тому теоретико-методичні основи вибору цілей навчання повинні враховувати соціальне замовлення. Отже, теоретико-методичні основи вибору цілей навчання математики молодших школярів базуються на вимогах суспільства до навчання, розвитку та виховання підростаючого покоління. Шкільний курс математики - це, з одного боку, органічна частина системи навчальних предметів у школі, а з другого - це педагогічно відібрана і методично опрацьована система математичних знань, умінь і навичок, задач, теорій, ідей і методів науки математики. Це означає що теоретико-методичні основи вибору цілей навчання математики ґрунтуються на закономірностях розробки цілей національної школи України на сучасному етапі розвитку суспільства. Слід також не забувати, що цілі викладання будь-якого предмета, у тому числі й математики, у школі можуть піддаватися певним змінам залежно від завдань, які ставить перед собою сучасне суспільство.

Курс математики середньої школи є методично опрацьованою частиною науки математики. Саме тому теоретико-методичні основи визначення цілей вивчення математики повинні враховувати потреби сучасного стану розвитку цієї науки. Так, уже в сучасних підручниках з математики для початкової школи використовуються моделювання, алгоритми, елементи інформатики та програмування тощо. Із курсу педагогіки Вам відомо, що навчання в сучасній школі виконує три функції: загальноосвітню, виховну і розвивальну. Цілком природно, що порядок їх слідування далеко не хаотичний. Відповідно до функцій навчання цілі вивчення математики також слід поділити на три групи. Разом з тим, у методичній літературі зустрічається поділ цілей навчання математики на такі: загальноосвітні чи освітні, виховні, практичні чи практично-прикладні (Г.Бевз, О.Власенко, Ю.Колягін, М.Метельський та ін.). Детальний аналіз характеристики різних груп цілей дозволяє зробити висновок про те, що відмінності носять скоріше термінологічний характер, ніж різняться за суттю відповідних понять. Отже, теоретико-методичні основи визначення цілей навчання математики слід поділити на три групи: теоретико-методичні основи визначення освітніх цілей навчання математики молодших школярів; теоретико-методичні основи визначення розвивальних цілей вивчення математики учнями І-ІУ класів; теоретико-методичні основи визначення виховних цілей навчання математики молодших школярів. Підґрунтям для їх створення є закономірності, якими користуються при виборі загальних цілей навчання, розвитку та виховання з врахуванням специфіки математики як науки, її ролі та місця у системі наук, техніці і виробництві, її значення у житті суспільства.

Початкова школа вже давно перестала бути замкненою ланкою у системі освіти, а тому курс математики І-ІУ класів є органічною частиною курсу математики середньої школи. Вчителеві, працюючи у початкових класах, потрібно знати і враховувати ті завдання, які стоять перед навчанням математики у середній школі, бо це дасть змогу правильно оцінити роль початкового навчання у розв’язанні цих завдань. Саме тому теоретико-методичні основи визначення освітніх, розвивальних і виховних цілей навчання математики молодших школярів ґрунтуються на закономірностях вибору відповідних цілей вивчення математики у середній школі. Адже багато питань програми з математики для середньої школи учні початкових класів повинні засвоїти у такій формі, щоб ці знання стали надбанням школярів на все життя. Деякі знання вводяться з метою підготовки до детального їх розгляду в наступних класах.

Ми будемо на боці тих науковців, які всі завдання вивчення математики в початкових класах також поділяють на три групи: 1) освітні завдання, сутність яких полягає в тому, щоб озброїти учнів певним колом математичних знань, умінь і навичок; 2) виховні завдання, які полягають в тому, що в процесі вивчення математики займатися вихованням дитини засобами математики, не заважаючи процесу засвоєння математичних знань, вмінь і навичок; 3) розвивальні завдання, сутність яких полягає в тому, щоб у процесі вивчення математики сприяти загальному розвитку дитини. При розгляді теоретико-методичних основ вивчення конкретних тем кожна група завдань буде деталізована та проілюстрована на прикладах. Усвідомити завдання кожного окремого розділу програми з математики вчителеві допоможе аналіз програми з математики, під час якого співставляються питання в програмі з їхніми відображенням у підручнику. Сутність всіх груп завдань вивчення математики в школі можна представити наступною схемою (див. схему № 2 на наступній сторінці). Не претендуючи на повноту та абсолютну вичерпність, ми сформулювали загальноосвітні, розвивальні та виховні цілі навчання математики в початкових класах. У реальному процесі навчання всі три групи виступають у взаємозв’язку та єдності. Розв’язати всі названі, а можливо і не названі, завдання можна лише оптимально підібравши зміст, продумавши систему його викладу, підібравши відповідні методи, форми та засоби навчання.

5. За багатовікову історію школи зміст шкільної математичної освіти змінювався від навчання лічбі й знайомства з найпростішими геометричними фігурами у сиву давнину до системи математичних предметів (математика, алгебра, геометрія, початки аналізу), що склалася до ХХ століття. Розвиток змісту шкільного курсу математики відбувався нерівномірно, відповідно до темпів розвитку виробничих сил суспільства та розвитку економіки, техніки та науки. У різні періоди рух за оновлення змісту шкільної математичної освіти як у нас в країні, так і за кордоном то затихав, то жвавішав. Остання кардинальна зміна змісту шкільного курсу математики була проведена у кінці 60-х – на

З авдання вивчення математики

Освітні (дидактичні) завдання	Розвивальні завдання	Виховні завдання
1.Озброєння учнів певною системою математичних знань, вмінь і навичок, достатніх для продовження навчання у наступних класах (Серед компонентів цієї системи слід назвати формування свідомих і міцних, а у багатьох випадках доведених до автоматизму, навичок обчислень; вивчення властивостей арифметичних дій, зв’язків, які існують між ними; формування математичних відношень і залежностей, які є основою практичних навичок і вмінь, які формуються у дітей). 2. Оволодіння математичними методами пізнання реальної дійсності. 3. Навчити учнів усної і писемної математичної мови з усіма притаманними їй якостями: простота, ясність, повнота, лаконічність тощо. 4. Озброєння учнів системою математичних відомостей, потрібних для того, щоб застосовувати набуті знання, вміння та навички для активної пізнавальної діяльності у процесі учіння та самоосвіти. 5. Формування в учнів загальнонавчальних умінь і навичок (до їх складу входять: організаційні (опанування учнями раціональних способів організації свого навчання); загальнопізнавальні (уміння спостерігати, розмірковувати, запам’ятовувати і відтворювати матеріал, аналізувати, порівнювати, узагальнювати тощо); загальномовленнєві (основні елементи культури слухання і мовлення); контрольно-оцінні (засвоєння учнями способів перевірки і самоперевірки, оцінювання одержаних результатів тощо)).	1. Розвиток мислення учнів. 2. Розвиток пізнавальних інтересів. 3. Оволодіння методами розумової діяльності. 4. Розвиток сприймання, пам’яті, волі, уваги, уяви, уявлень. 5. Формування уміння вчитися, самостійно здобувати знання. 6. Розвиток мовлення, мови. 7. Формування позитивної мотиваційної сфери. 8. Розвиток емоційно-вольових особливостей учнів тощо.	1. Формування в учнів наукового світогляду. 2. Виховання в учнів культури мислення, писемної та усної мови, мовлення. 3. Виховання учнів засобами математики на принципах і нормах загальнолюдських цінностей (людяність, чесність, принциповість, працелюбство, повага до людей тощо). 4. Формування почуття національної гордості, свідомості, патріотизму. 5. Розв’язування складних прикладів та текстових задач дозволяє формувати у дітей засобами математики цілеспрямованість, наполегливість, намагання розібратися у явищі до кінця, уміння керувати увагою тощо. 6. Розкриваючи роль вітчизняних і зарубіжних вчених, вводячи елементи історизму, підбираючи задачі на місцевому матеріалі, вчитель створює широкі можливості для виховання у учнів почуття патріотизму, національної гордості та самосвідомості, любові до рідного краю. 7. Правильне і гарне креслення, охайно і каліграфічно виконані на дошці чи у зошиті записи, естетично оформлені наочні посібники, правильна і образна мова вчителя тощо – все це фактори, які вказують на значну роль математики в естетичному вихованні молодших школярів.

Схема № 2.

початку 70-х років ХХ століття. У 1969 році початкова школа перейшла на новий зміст навчання, коли чотирирічна початкова школа була замінена трирічною. У той же час на зміну курсу арифметики, що вивчався у чотирирічній початковій школі, прийшов курс математики, в якому крім арифметики цілих невід’ємних чисел і розв'язування текстових задач розглядалися величини, деякі питання алгебри, формувалися геометричні уявлення і вводилися деякі відомості про дроби. Як відомо нині в Україні існує чотирирічна початкова школа з початком навчання у шість років. Зміст курсу математики початкових класів задається Державним освітнім стандартом початкової школи та визначено у державній навчальній програмі з математики для початкової школи та деталізується у стабільних підручниках з математики для І-ІУ класів. Курс математики початкової школи є невід'ємною органічною частиною курсу математики загальноосвітньої школи. Оскільки завдання вивчення математики у дванадцятирічній загальноосвітній школі визначаються на основі соціального замовлення держави до математичної підготовки підростаючого покоління, то мета вивчення початкового курсу математики є проекцією завдань вивчення математики у середній школі.

Хоча розвиток науки відбувається буцімто неперервно, але специфіка роботи школи дозволяє проводити зміни шкільних програм лише періодично, причому, завдяки наростаючому темпу розвитку науки, період між двома послідовними реформами напевне буде скорочуватися. Проведенню модернізації змісту шкільної математичної освіти заважають швидкий ріст обсягу наукової інформації, обмеженість строку шкільного навчання, неможливість значного скорочення обсягу виучуваних у школі математичних відомостей з метою включення нової інформації та певний консерватизм системи шкільної освіти. Таким чином, для методики викладання математики одна з найважливіших її проблем - модернізація змісту шкільної математичної освіти – стає неперервно розв’язуваною проблемою: із завершенням однієї реформи розпочинається наукова розробка і підготовка наступної.

Все сказане повною мірою відноситься до змін у змісті курсу математики початкових класів. Саме тому спробуємо знайти відповідь на запитання: чому ж була проведена істотна реконструкція системи початкової математичної освіти? Традиційний початковий курс арифметики, який вивчався у І-ІУ класах, та його викладання перестав задовольняти вимоги суспільства на той період у таких основних пунктах: початковий курс арифметики виявився ізольованим (за змістом, методами навчання, за ступенем труднощів тощо) від основного курсу математики та інших навчальних предметів середньої школи; математичний зміст цього курсу був незначним, а також мав односторонню цільову спрямованість: вироблення обчислювальних навичок і розв’язування "типових" задач; початковий курс арифметики був занадто розтягнутий за роками навчання, не враховував можливостей до його засвоєння молодшими школярами (дослідження В.Давидова, Л.Занкова, Д.Ельконіна та ін.); методика викладання початкового курсу арифметики була занадто регламентованою, не враховувала рівня педагогічної майстерності вчителів, майже відсутньою була орієнтація на використання індивідуального підходу до школярів у процесі вивчення ними математики тощо.

Разом з тим дослідження М.Бантової, М.Моро, А.Пишкало та ін. показали необхідність збереження перевірених досвідом кількох поколінь традицій, а саме: збереження вчення про цілі невід’ємні числа як основи початкового курсу математики; розвитку обчислювальної культури учнів; концентричності побудови початкового курсу математики. Виходячи з результатів проведених широкомасштабних досліджень, в основу нової програми навчання математики молодших школярів були покладені такі положення: курс математики початкової школи повинен стати органічною частиною курсу математики середньої школи, а отже його побудова повинна проводитися на тих же ідейних засадах; для додержання принципу наступності у І-ІУ класах вводився єдиний навчальний предмет "математика"; у курс математики початкових класів вводилися елементи алгебри, які створювали умови для узагальнення арифметики, для розвитку математичного мислення, для ознайомлення учнів з математичною мовою та символікою тощо; введення до початкового курсу математики елементів геометрії передбачало їх використання у двох напрямках: 1) вивчення геометричного матеріалу органічно пов’язувалося з деякими питаннями арифметики, надаючи можливість моделювати відповідні питання арифметики цілих невід’ємних чисел; і 2) вивчення елементів геометрії являло собою певний самостійний пропедевтичний курс. Все разом повинне було сприяти підготовці до вивчення систематичного курсу геометрії, розвиткові просторових уявлень і абстрактного мислення учнів; у процесі вивчення математики у І-ІУ класах учні повинні були одержати свідоме уявлення про життєво-практичні ситуації, відображені у математичних поняттях: число (міра), фігура, операція (дія), тобто вміти застосовувати математику до розв’язування прикладних задач відповідного рівня; з метою мобілізації недостатньо використовуваних у попередній програмі внутрішніх розумових резервів молодших школярів у новій програмі підвищена роль теорії. Це дало змогу піднести рівень математичного розвитку, полегшити осмислене засвоєння нового навчального матеріалу, встановлювати зв’язки між поняттями та їх системами тощо; початковий курс математики повинен був сприяти розвитку кмітливості в учнів, забезпечувати розвиток математичних здібностей дітей, що особливо цікавляться математикою, а це повинно б було створити умови для здійснення диференціації навчання математики.

На початку 90-х років ХХ століття розпочалася розбудова національної школи України. Одразу ж постало питання визначення змісту шкільного курсу математики, зокрема і курсу математики початкових класів. Виходячи з означення теоретико-методичних основ навчання математики молодших школярів, наведеного у [1.1], слід чітко вказати теоретико-методичні основи відбору змісту курсу математики І-ІУ класів. Оскільки школа виконує соціальне замовлення суспільства, то підгрунтя для їх вибору стали ідеї, закладені у Державній національній програмі "Освіта ХХІ ст.", у Концепції базової математичної освіти в Україні, у концепціях "Загальноосвітня школа України", "Сільська школа України" та ін. Ґрунтуючись на концептуальних положеннях цих документів, вважаємо за необхідне до теоретико-методичних основ відбору змісту курсу математики початкової школи віднести такі закономірності: врахування здатності курсу математики початкової школи виконувати соціальне замовлення держави відносно підростаючого покоління, яке забезпечуватиме рух суспільства вперед; збереження у змісті курсу математики початкових класів всього найкращого, накопиченого школою, психолого-педагогічною та методичною науками; відображення у змісті курсу математики І-ІУ класів рис українського національного характеру, менталітету нашого народу; забезпечення курсом математики початкової школи впровадження ідей гуманізації, демократизації, народності, природовідповідності, індивідуалізації, диференціації, неперервності освіти тощо; врахування у змісті курсу математики початкових класів особистісної орієнтації навчання; забезпечення курсом математики І-ІУ класів підвищення рівня теоретичної і практичної підготовки школярів, пріоритету соціально-мотиваційних факторів у процесі навчання, умов для досягнення кожним учнем відповідного його можливостям і інтересам рівня знань, умінь та навичок; створення навчальним предметом "математика" основ для подальшого успішного вивчення курсу математики, для всебічного культурного та розумового розвитку особистості (це пояснюється тим, що вивчення математики у початкових класах не зводиться лише до формування певного кола математичних знань, обчислювальних навичок, але й закладає основи для формування методів пізнання, наукового стилю мислення. Математика за своєю суттю є важливим засобом моделювання явищ і процесів, формування духовної сфери людини, інтелектуальних і морально-етичних компонентів людської особистості. Поряд з цим математика є одним із найпотужніших засобів розвитку творчих здібностей школярів і володіє значними можливостями для розумового розвитку, а також готує до прийняття рішень у нестандартних умовах); відображення у курсі математики початкових класів кількох частин, одна з яких була б обов’язковою для всіх закладів шкільної освіти різних типів, різних джерел фінансування, різних засновників, різних форм власності, щоб забезпечити досягнення базового рівня освіти всіма дітьми; врахування здатності курсу математики початкової школи передбачати цілісність системи формування особистості на основі досягнень психолого-педагогічної науки, методики викладання математики, педагогічного досвіду навчання математики у вітчизняних і зарубіжних закладах освіти різних типів, науки математики; гуманізації навчально-виховного процесу та гуманітарізації змісту математичних курсів; рівневої диференціації навчання на основі базового змісту шкільної математичної науки; забезпечення наукової обґрунтованості підходу до визначення змісту навчання математики молодших школярів; збереження узгодженості і скоординованості змісту навчання математики молодших школярів з методичним забезпеченням, наявними підручниками, дидактичними матеріалами тощо; врахування сучасних досягнень психології, дидактики та методики викладання математики про те, що засвоєння знань і формування умінь й навичок відбувається лише у процесі активної, самостійної, індивідуальної навчальної діяльності учнів; врахування при відборі змісту курсу математики стану та розвитку індивідуальних, психологічних та вікових особливостей дітей даного шкільного віку; забезпечення змістом курсу математики І-ІУ класів такого рівня математичних знань, вмінь і навичок, розвитку та виховання особистості, здатної жити і працювати у нових, нестандартних умовах, який би відповідав потребам, нахилам, інтересам, здібностям, творчим можливостям кожної дитини.

Де ж визначено зміст початкового курсу математики? Державним документом, який визначає зміст, обсяг, основні завдання математичної підготовки учнів, основні ідеї початкового курсу математики є програма з математики для І-ІУ класів. Зміст програми з року в рік може коригуватися, а тому перед початком роботи вчитель повинен добре вивчити діючу програму. У пояснювальній записці до програми з математики для початкової школи сказано, що основою початкового курсу математики є арифметика цілих невід'ємних чисел і основних величин, в яку органічно вписуються елементи алгебраїчної та геометричної пропедевтики. Весь курс математики побудований на системі доцільно підібраних задач. Отже, основними структурними компонентами змісту курсу математики початкових класів можна вважати: 1) арифметичний матеріал (нумерація чисел, арифметичні дії над числами, дроби); 2) алгебраїчний матеріал (вирази, рівняння, нерівності, буквена символіка); 3) геометричний матеріал (відомості про основні геометричні фігури та їх властивості, побудова геометричних фігур, розв'язування задач геометричного змісту); 4) величини (довжина, площа, маса, швидкість, час, місткість, ціна, вартість, продуктивність праці), одиниці їх вимірювання та співвідношення між ними; 5) текстові задачі ( прості (на одну дію), складені (на дві і більше дій), типові і нетипові).

Які ж відомості відносяться до арифметичної частини курсу математики початкових класів? При вивченні арифметичного матеріалу у дітей потрібно сформувати уявлення про такі поняття: натуральне число, нуль і арифметичні дії; властивості чисел, арифметичних дій та прийоми обчислень, властивості десяткової системи числення; усна та письмова нумерація; зв’язки між діями додавання і віднімання, множення і ділення, залежність між компонентами і результатами арифметичних дій; величини та дроби. На перших уроках математики у початковій школі проводиться підготовка дітей до ознайомлення з числами та арифметичними діями. Робиться це за допомогою практичних вправ на об’єднання двох даних множин предметів, на встановлення відповідності між елементами двох множин, на вилучення частини з даної множини. Від операцій з множинами відбувається поступовий перехід до лічби предметів, до ознайомлення з назвами і послідовністю перших десяти чисел натурального ряду, відбувається знайомство з трьома способами утворення чисел, розглядаються випадки порівняння чисел, знаходиться їх сума і різниця. Названі дії діти спочатку виконують на основі відповідних операцій над множинами, а потім на основі лічби елементів одержаної в результаті виконаної операції множини й, нарешті, на основі прилічування чи відлічування по одиниці чи групами.

Одне з центральних понять курсу математики І-ІУ класів - це поняття натурального числа, яке трактується як кількісна характеристика класу еквівалентних скінченних множин, а вже при вивченні арифметичних дій воно виступає як елемент впорядкованої множини або як член натуральної послідовності. При вивченні арифметичних дій натуральне число одержує подальший розвиток, бо починає виступати у новій якості - як об’єкти, над якими виконують операції. Ознайомлюючись з арифметичними діями, діти розглядають конкретний зміст кожної арифметичної дії, властивості цих дій, зв’язки між ними, залежність та взаємозв’язки між компонентами і результатами дій, вивчають відповідну термінологію та символіку (знаки дій +, -, , :; назви компонентів та результатів дій: доданки, сума, зменшуване, від’ємник, різниця, множники, добуток, ділене, дільник, частка). Потім розглядають обчислювальні прийоми, що ґрунтуються на використанні властивостей дій (переставна властивість суми та добутку; різні способи додавання числа до суми і суми до числа; віднімання числа від суми та суми від числа; множення суми на число і числа на суму тощо), а також на основі розуміння зв’язку між діями додавання і віднімання, множення і ділення. Всі властивості дій і різноманітні прийоми використовуються для раціоналізації обчислень.

При вивченні нумерації чисел діти ознайомлюються з новими лічильними одиницями (одиниця, десяток, сотня, тисяча, десяток тисяч тощо), розглядають склад чисел з розрядних доданків (153=100+50+3 або 153 - це одна сотня, п’ять десятків і три одиниці), з’ясовують помісцеве значення цифр у записі числа, вивчають співвідношення між розрядними одиницями. Число нуль у початкових класах трактується як кількісна характеристика класу порожніх множин. Спочатку нуль вводиться як цифра, що позначає на лінійці початок відліку або вимірювання, а потім нуль вводиться як число при відніманні виду 3-3, 5-5, що не суперечить трактуванню суті цього нового числа, а згодом нуль виступає як компонент арифметичних дій 4+0, 0+7, 6-0, 06, 30, 0:5. Тут же розглядається неможливість ділення на нуль. Цифра нуль використовується вперше для запису числа 10, а потім і наступних круглих чисел (20, 30, 40, 100 тощо), де вона позначає відсутність одиниць деякого розряду у записі числа.

Формування поняття про систему числення відбувається при вивченні нумерації чисел і арифметичних дій над ними. Поступово вводиться поняття розряду, класу, розрядної одиниці, розрядного числа, їх назви, а у зв’язку з цим розглядаються утворення, назви, запис і читання чисел та їх десятковий склад. До арифметичної частини курсу математики належить також і ознайомлення з дробами. Спочатку у дітей формуються уявлення про частину величини, про порівняння частин, їх запис, читання, а потім діти вчаться шукати частину величини і величину за її частиною. У наступному класі школярі ознайомлюються з найпростішими дробами, їх читанням і записом, із знаходженням дробу числа.

Алгебраїчний матеріал ні у програмі, ні у реальному процесі навчання не виділяється в окремий розділ і включає в себе формування понять рівності, нерівності, рівняння і підготовку учнів до засвоєння поняття змінної. Всі вказані поняття розкриваються на конкретній основі. Розгляд числових рівностей і нерівностей (4=4, 6=5+1, 4>5, 6>3, 7+3>7, 8-4<8-2 тощо) допомагає більш глибоко зрозуміти суть арифметичного матеріалу. Розв’язування найпростіших рівнянь (х+3=5, 5-х=1 тощо) проводиться спочатку способом підбору, а пізніше на основі залежностей між компонентами і результатами арифметичних дій. Рівняння складнішої структури (х+5=4+11, 2(х+ 3)=12 тощо) розв’язуються вже тільки другим способом. Буква вводиться спочатку як символ для позначення невідомого числа у рівнянні, а у виразах виду 20+а, в-с та ін. та у нерівностях із змінною 8-с<4, вона розглядається як змінна, хоча термін "змінна" у початковій школі не вводиться. Нерівності з змінною розв'язуються шляхом підбору.

Геометричний матеріал включає в себе ознайомлення з найпростішими геометричними фігурами (пряма, крива, ламана, точка, відрізок прямої, кут, многокутники та їх елементи, прямі і непрямі кути, прямокутник, квадрат, коло, круг, центр і радіус круга тощо), формування умінь розрізняти ці фігури, проводити найпростіші побудови, знаходити довжину відрізка, ламаної знаходити периметр многокутника та площу геометричної фігури. Крім цього, до цієї частини курсу математики входять найрізноманітніші задачі геометричного характеру. Не дивлячись на те, що питання геометричного змісту слід розглядати завжди, коли для цього є можливість і у тісному зв’язку з іншими питаннями курсу, все ж у викладі питань геометрії слід дотримуватися і власної логіки, яка обумовлена основною метою введення геометричного матеріалу у курс математики початкової школи. Мета введення геометричного матеріалу полягає в розвиткові просторових уявлень та уяви дітей, у формуванні у них уявлень про геометричні фігури.

У тісному зв’язку з вивченням арифметичного, алгебраїчного та геометричного матеріалу формується у дітей поняття величини і ідея вимірювання величин. Всі величини, що розглядаються у початковому курсі математики, поділяються на дві групи: основні, відносно яких ставиться завдання навчити дітей їх вимірювати, і похідні, відносно яких такого завдання не ставиться. До першої групи відносяться довжина, маса, площа, а до другої - час, шлях, швидкість тощо. Ознайомлення з величинами, їх вимірюванням та одиницями їх вимірювання проходить практично у тісному зв’язку з формуванням таких понять як число, десяткова система числення, арифметичні дії, геометрична фігура.

Всі текстові задачі початкового курсу математики за кількістю дій, які потрібно виконати для їх розв’язання, поділяються на прості та складені. Прості задачі – це задачі, які розв’язуються однією дією, а складені - двома і більше діями. У пояснювальній записці до програми сказано, що вивчення арифметики цілих невід’ємних чисел будується на системі доцільно підібраних задач, а система їх розміщення і добору забезпечує найсприятливіші умови для зіставлення, порівняння і протиставлення задач. Текстові задачі використовуються для формування нових понять, для здійснення зв'язку навчання математики з життям, для формування практичних умінь і навичок, для встановлення зв’язку і залежності між величинами. У курсі математики початкової школи розглядаються задачі нескладної структури з арифметичним і геометричним змістом. Для визначення обсягу матеріалу, його структури, кількості годин, що відводиться на вивчення того чи іншого матеріалу, слід звернутися до програми, яка може, як ми вже зазначали, щорічно коригуватися. Детальний аналіз методики вивчення кожного з названих питань даного пункту буде проводитися при розгляді конкретних тем курсу математики І-ІУ класів.

6. Аналіз літератури з методики викладання математики у початкових класах дає всі підстави твердити, що початковий курс математики побудований із врахуванням таких особливостей: 1) арифметичний матеріал є головним змістом курсу; 2) алгебраїчний матеріал має деякі окремі свої теми, наприклад, вирази, рівності і нерівності; 3) єдиною темою геометричного змісту є тема “Площа геометричних фігур”, але на кожному уроці, починаючи з першого, обов'язково слід розглядати геометричні відомості. Незважаючи на такий підхід, розміщення геометричного матеріалу має свою логіку побудови, а пропуск хоча б однієї ланки веде до порушення логіки формування геометричних відомостей і до створення зайвих труднощів при засвоєнні наступного програмового матеріалу. 4) матеріал розміщено з дотриманням принципу концентричності.

Аналіз побудови змісту початкового курсу математики на протязі всієї історії розвитку початкової школи дає підстави зробити висновок про те, що навчальний матеріал у ньому розміщувався здебільшого або лінійно, або концентрично. Під лінійною побудовою курсу розуміють таке розміщення матеріалу, яке базується на логічній послідовності розділів і яке використовується найчастіше у наукових курсах. Стосовно до арифметики цілих невід’ємних чисел лінійна побудова була б такою: нумерація цілих невід’ємних чисел, арифметичні дії над ними. Позитивним у такому розміщенні матеріалу є його відповідність науковому курсу, а негативним - невідповідність віковим можливостям учнів, несвідоме засвоєння арифметичних знань, яке б неминуче привело до заучування арифметики напам’ять. Під концентричною побудовою курсу розуміють таке розміщення матеріалу, при якому спочатку вивчаються нумерація та арифметичні дії (можливо навіть і не всі!) у межах обмеженої області чисел. Потім ці ж питання розглядаються на розширеній області чисел і, нарешті, розглядаються нумерація багатоцифрових чисел та арифметичні дії над ними. У наукових курсах і шкільних курсах математики, що вивчалися у школі до початку XX століття, навчальний матеріал розташовується лінійно, як наприклад в підручнику Л.Магницького. При такому розташуванні спочатку розглядаються всі питання з нумерації чисел, а пізніше всі питання пов’язані з арифметичними діями додавання, віднімання, множення і ділення. Починаючи з XX століття у радянській початковій школі, а починаючи з 1991 року і в українській національній школі, курс математики будувався не лінійно, а концентрично. Вважається, що ідея концентричного розміщення навчального матеріалу сформульована Жан-Жаком Руссо і Я.А.Коменським, а в Росії її реалізував П.С.Гур’єв. Як свідчить історія розвитку школи, введення концентричної побудови курсу математики у початковій школі стало значним досягненням методики викладання математики, бо сприяло впровадженню принципу свідомості у навчанні. Перевагами концентричної побудови початкового курсу математики є такі: відповідність віковим можливостям дітей даного шкільного віку; доступність дітям та відома їм до школи невелика область чисел (перший десяток), з якої починається вивчення математики у І-ІУ класах; поступове розширення області чисел та поступове введення нових понять; систематичне повторення і поглиблення раніше набутих знань, вмінь і навичок за рахунок застосування їх у новій області чисел. На думку Л.Скаткіна [M-20], дві останні позиції дають підставу називати таку побудову початкового курсу математики "побудовою за спіраллю", бо на кожному новому витку вивчаються ті ж питання, але уже в новій області чисел.

На різних етапах розвитку школи кількість концентрів була різною. На початку розвитку трирічної початкової школи (1969-1984 рр.) навчальний матеріал згідно програми був розподілений за чотирма концентрами (“Десяток”, “Сотня”, “Тисяча”, “Багатоцифрові числа”), які стосувалися тільки арифметичного матеріалу, бо алгебраїчний і геометричний матеріал, відомості про дроби, текстові задачі, величини пронизували всі концентри, починаючи з концентра “Десяток”. Виділення таких концентрів обумовлюється: 1) особливостями десяткової позиційної системи числення; 2) особливостями обчислювальних прийомів; 3) віковими можливостями молодших школярів; 4) створенням умов для систематичного повторення на вищому рівні раніше пройденого матеріалу; 5) наявністю можливостей для поглиблення і систематизації раніше вивченого; 6) можливістю вивчати питання теорії і практики в органічному зв'язку одне з одним; 7) створенням умов для розкриття кожного поняття, властивості, закономірності у взаємозв’язку зі схожими і протилежними; 8) можливостями для розкриття кожного поняття у його розвитку.

Виділення саме таких концентрів обумовлене теоретико-методичними основами розміщення навчального матеріалу. Адже, згідно даних психологічних досліджень, молодшим школярам слід пропонувати той матеріал, який доступний їм за рівнем розвитку мислення, пам’яті, сприймання, уяви тощо. Так, числа першого концентру доступні для дітей 6-7-ми років, бо їх легко моделювати за допомогою окремих об’єктів навколишнього середовища, встановити відношення “більше - менше”, а потім співставити кількість наявних предметів з числом та цифрою. Перший концентр “Десяток” виділяється тому, що в ньому відбувається ознайомлення з усною і письмовою нумерацією чисел до десяти, формується поняття числа та цифри. Крім того, назви перших десяти чисел лежать в основі назв усіх чисел натурального ряду, бо наша система числення десяткова. У цьому концентрі учні повинні запам’ятати конфігурацію кожної цифри та засвоїти табличні прийоми додавання і віднімання без переходу через десяток.

Другим концентром є “Сотня”, у якому виділено підконцентр “Другий десяток”. Його виділено тому, що числа 11-20 називаються з допомогою одного слова (терміна), хоча записуються з допомогою двох цифр. Крім того, при називанні чисел 11-19 вказують спочатку число окремих одиниць, а потім – число десятків, але при написанні спочатку записують цифру, що позначає число десятків, а потім – цифру, що позначає число окремих одиниць. Отже, письмова нумерація не узгоджена з усною. Пізніше вивчаються табличні випадки додавання одноцифрових чисел з переходом через десяток і відповідні табличні випадки віднімання. Знання цих таблиць лежить в основі виконання усних і письмових обчислень над усіма числами будь-якого концентру. Серед наступних причин виділення цього підконцентру є та, що тут закладається підґрунтя для формування уявлень про розряди та позиційний принцип розміщення цифр у числі, розкривається зміст поняття розряду і позиційного принципу використання цифр для запису чисел 21-100, відношення між розрядами та відповідними лічильними одиницями, вивчається таблиця множення одноцифрових чисел і відповідні випадки ділення, які лежать в основі позатабличних усних прийомів множення і ділення.

Концентр “Тисяча” виділяють окремо тому, що тут формується узагальнене поняття про розряди в межах першого класу – класу одиниць, ґрунтовно розкриваються прийоми письмового додавання і віднімання трицифрових чисел, відбувається початкове ознайомлення з алгоритмами письмового множення і ділення трицифрового числа на одноцифрове число. Концентр “Багатоцифрові числа” виділяють окремо тому, що числа більші за 100 складно моделювати за допомогою лічильних одиниць, а тому використовується засіб (рахівниця), який абстрактно дозволяє виконати таке моделювання для всіх чисел цього концентру. Для того, щоб учні успішно оволоділи структурою багатоцифрових чисел, спочатку розглядають чотирицифрові числа, структуру яких можна продемонструвати за допомогою арифметичного ящика (див. малюнок № 1). Така робота сприятиме розумінню учнями позиційного принципу, засвоєнню назв розрядів і місця кожного розряду у записі числа, співвідношень між розрядами тощо. Після цього діти зможуть легко перейти до моделювання чисел за допомогою рахівниці, на якій відлік розрядів ведеться знизу до верху, а тому в цьому випадку співвідношення між розрядами дітям уявити важко.

У концентрі “Багатоцифрові числа” узагальнюються всі властивості арифметичних дій і алгоритми письмових обчислень. З точки зору дидактики виділення таких концентрів пояснюється особливостями десяткової системи числення, необхідністю дотримання дидактичних принципів навчання (науковість, доступність, наочність, наступність, зв’язок з життям, природовідповідності тощо). Виділення таких концентрів обумовлено особливостями десяткової системи числення, числових прийомів, віковими особливостями дітей. При такій побудові створюються можливості для систематичного повторення пройденого матеріалу при переході від концентру до концентру, для поглиблення раніше вивченого, для систематизації і узагальнення знань, умінь і навичок. Завдяки такій побудові питання теорії і практики, пов'язані між собою математичні поняття, закономірності і властивості розкриваються у взаємозв'язку, кожне нове поняття одержує свій подальший розвиток та є змога розглядати схожі і подібні поняття у зіставленні і протиставленні.

1 2 3 4