2.2. Постановка задачи о решении уравнения теплопроводности для тел и сред

В общем случае ставится задача об определении температурного поля тела (среды) во всех его точках для каждого из значений текущих моментов времени. При решении такой задачи требуется составить ее математическую модель, включающую уравнение теплопроводности тела и условия однозначности решения задачи.

При записи уравнения теплопроводности нужно учитывать размерность и стационарность исследуемого случая. В общем случае задача является трехмерной и нестационарной, т.е.

Т = f (x, y, z, τ).

Решение подобного уравнения нельзя найти, если не знать условий однозначности, справедливых для изучаемого случая.

На практике различают следующие группы условий однозначности.

1. Геометрические, учитывающие форму тела (шар, пластина, стержень и т.д.) и его размеры.

2. Физические, характеризующие теплопроводность, теплоемкость, плотность и т.п. тела (среды), а также зависимость перечисленных свойств от других параметров и времени.

3. Начальные временные, т.е. значения параметров тела (среды) в исходном состоянии, когда время τ = 0.

4. Граничные, подразделяющиеся на четыре рода.

Граничные условия первого рода состоят в том, что задается температура поверхности Т_п изучаемого тела –

Т_п = f (x, y, z, τ).

Граничные условия второго рода соответствуют тому, что на поверхности исследуемого тела задается плотность теплового потока –

q_п^* = – λ·(dT/dn).

Граничные условия третьего рода заключаются в том, что задается тепловой поток к изучаемому телу со стороны ОС –

q^* = α·(Т_в – Т_п),

где q^* – плотность указанного теплового потока; α – коэффициент теплоотдачи; Т_п – температура поверхности тела; Т_в – температура восстановления среды.

Исходя из условия неразрывности теплового потока, последнее равенство можно переписать в виде –

α·(Т_в – Т_п) = – λ·(dT/dn).

Приведенное граничное условие широко используется для решения задач конвективного теплообмена.

При решении задач, связанных с теплообменом между двумя контактирующими твердыми телами, применяют граничные условия четвертого рода. Они состоят в том, что на границе тел тепловые потоки от одного тела к другому равны, т.е.

q^* = q₁^* = q₂^*,

где q₁^* = – λ₁·(dT/dn₁) и q₂^* = – λ₂·(dT/dn₂).

Отсюда

λ₁·(dT/dn₁) = λ₂·(dT/dn₂).

Таким образом, чтобы решить теплофизическую задачу, необходимо записать уравнение теплопроводности и соответствующие условия однозначности, причем из граничных условий выбирается какое-либо одно, а вот прочие условия однозначности формулируются все. В итоге для определения температурного поля тела (среды) и тепловых потоков получается система дифференциальных уравнений с наложенными на них начальными условиями (задача Коши). Решение такой системы может проводиться аналитическим путем, посредством численных методов, с использованием теории подобия (см. ниже), а также методов размерностей с последующим переходом на критериальные соотношения. Кроме того, возможен экспериментальный путь решения, основанный на гидро- или электромоделировании процесса нагрева тела (среды).