10. Процесс истечения рабочего тела
10.1. Вывод основного расчетного соотношения
Получим зависимость площади сечения изоэнтропного потока от скорости РТ w и числа Маха М, т.е. –
f = f (w, M).
За основу выкладок возьмем уравнение неразрывности потока –
f·w·ρ = f·w/v = m' = const. [кг/с]
Прологарифмируем отношение f·w/v –
lnf + lnw – lnv = const.
Продифференцируем полученный результат –
df/f + dw/w – dv/v = 0.
Отсюда выразим отношение df/f
df/f = dv/v – dw/w.
Далее исключим параметр v. Для этого запишем уравнение изоэнтропного процесса, считая его частным случаем политропного, т.е.
p·vγ = const.
Прологарифмируем последнее равенство –
lnp + γ·lnv = const.
Продифференцируем результат –
dp/p + γ·(dv/v) = 0.
Отсюда вырозим отношение dv/v
dv/v = – (1/γ)·dp/p.
Из этой формулы теперь необходимо исключить параметр р. Воспользуемся модифицированной формой записи первого закона термодинамики
dq = di – v·dp,
где dq = 0, т.к. рассматривается изоэнтропный процесс. Полагая канал коротким, запишем
0 = di + d(w2/2) = di + w·dw
(меняются энтальпия и скорость течения РТ). Из последних двух формул следует, что
– v·dp = w·dw или – dp = w·dw/v.
Тогда
dv/v = w·dw/γ·p·v.
Поскольку p·v = R·T, для скорости звука справедливо
a = (γ·R·T)1/2 = (γ·p·v)1/2.
Домножим правую часть равенства
dv/v = w·dw/γ·p·v
на отношение w/w. В итоге, учитывая a = (γ·p·v)1/2, получим
dv/v = (w/a)2·dw/w.
Этот результат подставим в формулу
df/f = dv/v – dw/w,
исключив из нее параметр v –
df/f = (w/a)2·dw/w – dw/w.
Учтем, что (w/a)2 = M2. Тогда –
df/f = (M2 – 1)·dw/w.
Фактически получено уравнение течения изоэнтропного потока, выражающее площадь его сечения через местную скорость РТ и число Маха, т.е. –
f = f (w, M).
По существу оно является модифицированным уравнением неразрывности потока и устанавливает закон изменения площади проходного сечения канала в зависимости от скорости потока, а также позволяет оптимально подбирать сечения выходных устройств авиационных газотурбинных двигателей.
10.2. Анализ уравнения f = f (w, M)
Одним из важнейших агрегатов современных авиационных двигателей (реактивных и турбореактивных) служат сопла, через которые истекает РТ (рис. 28).
Для изоэнтропного потока РТ выше было получено уравнение –
df/f = (M2 – 1)·dw/w.
Проанализируем его, переписав в виде –
dw/w = df/f·(M2 – 1).
Этот анализ позволит ответить на вопрос: какую форму должен иметь канал (тракт) сопла, чтобы выполнялось распределение скоростей потока, показанное на рис. 28?
Очевидно, что и слева, и справа от критического сечения скорость потока w и ее дифференциал dw больше нуля. Отсюда следует, что и dw/w > 0, т.е. поток ускоряется, что позволяет реализовать на практике принцип реактивного движения.
Сначала рассмотрим канал слева от критического сечения, где скорость потока w меньше скорости звука а. Таким образом, здесь число Маха M < 1. Значит, M2 < 1, а (М2 – 1) < 0. Диаметр (и, естественно, площадь f) канала – величина положительная. Поскольку f > 0, (M2 – 1) < 0, а dw/w > 0, из уравнения
dw/w = df/f·(M2 – 1)
Рис. 28. Принципиальная схема сопла Лаваля
следует, что должно соблюдаться условие df < 0. Таким образом, до критического сечения канал сужается (см. рис. 28).
Теперь рассмотрим канал справа от критического сечения, где скорость потока w превышает скорость звука а. Здесь число Маха М > 1. Отсюда М2 > 1, а (М2 – 1) > 0. Поскольку f > 0, dw/w > 0, из приведенного выше уравнения следует, что df > 0, т.е. после критического сечения канал расширяется (см. рис. 28).
Анализ показывает, что, используя только сужающийся канал сопла, максимально можно получить лишь звуковую скорость истечения потока РТ (двигатели с такими соплами установлены на большинстве современных гражданских воздушных судов). Чтобы добиться сверхзвуковой скорости истечения, после критического сечения канала необходимо расширять тракт сопла (двигатели с регулируемыми соплами устанавливались на самолетах Ту-104, Ту-144 и “Конкорд”).