8.5. Скорость звука в произвольном сечении потока

Скорость звука в произвольном сечении изоэнтропного потока определяется по формуле Лапласа

a = (γ·R·T)^1/2.

9. Заторможенные и критические параметры потока

9.1. Параметры заторможенного потока (параметры торможения)

Поток газа в произвольном сечении характеризуется давлением р, температурой Т, скоростью w, скоростью звука а, плотностью ρ и удельным объемом v.

Параметры, свойственные РТ, которое имеет скорость w₀ = 0, при отсутствии всякого рода потерь, называют параметрами заторможенного потока (торможения). Их принято обозначать добавлением нижнего индекса “0”. Если потери имели место, параметры РТ с нулевой скоростью называют параметрами восстановления.

Определим температуру торможения Т₀, считая температуру Т в произвольном сечении потока известной. Вспомним, что для изоэнтропного потока –

i + w²/2 = const и i₀ = i + w²/2.

Кроме этого,

i = c_p·T = γ·R·T/( γ – 1).

Отсюда

γ·R·T₀/(γ – 1) = [γ·R·T/(γ – 1)] + w²/2.

Заметим, что скорость звука

a = (γ·R·T)^1/2, т.е. a² = γ·R·T.

Помимо прочего,

M = w/a, т.е. M² = w²/a².

Вернемся к уравнению

γ·R·T₀/(γ – 1) = [γ·R·T/(γ – 1)] + w²/2

и разделим обе его части на отношение γ·R·T/(γ – 1) –

T₀/T = 1 + w²·(γ – 1)/2·γ·R·T.

Но γ·R·T = а², а w²/a² = M². Отсюда –

T₀/T = 1 + w²·(γ – 1)/2·а²

и окончательно

T₀/T = 1 + (γ – 1)·М²/2 или Т₀ = Т·[1 + (γ – 1)·M²/2].

По аналогичной формуле можно определить температуру восстановления Т_в. Потери энергии при этом учитываются с помощью коэффициента r (r = 0,8…0,95)

Т_в = Т·[1 + r·(γ – 1)·М²/2].

Таким образом, температура торможения всегда больше температуры восстановления, т.е. Т₀ > Т_в.

Определим давление торможения р₀, полагая давление р в произвольном сечении потока известным. Для изоэнтропного потока справедливо

Т₀/Т = (р₀/р)^{(γ – 1)/γ}.

Отсюда

р₀/р = (Т₀/Т)^{γ/(γ – 1)}.

С учетом соотношения Т₀/Т, полученного выше, можно записать

р₀/р = [1 + (γ – 1)·М²/2]^{γ/(γ – 1)} или р₀ = р·[1 + (γ – 1)·М²/2]^{γ/(γ – 1)}.

Определим далее плотность заторможенного потока ρ₀, считая ρ в произвольном сечении известной. Для изоэнтропного потока

ρ₀/ρ = (р₀/р)^1/γ.

Тогда, учитывая отношение р₀/р, записанное чуть выше, получим –

ρ₀/ρ = [1 + (γ – 1)·M²/2]^{1/(γ – 1)}

и окончательно

ρ₀ = ρ·[1 + (γ – 1)·M²/2]^{1/(γ – 1)}.

Принимая во внимание, что плотность и удельный объем являются обратными величинами, удельный объем заторможенного потока можно определить из равенства

v/v₀ = [1 + (γ – 1)·M²/2]^{1/(γ – 1)},

принимая удельный объем v в произвольном сечении известным.

Что касается скорости заторможенного потока w₀, то она тождественно равна нулю по определению. Скорость звука а₀ в заторможенном потоке вычисляется по уравнению Лапласа –

a₀ = (γ·R·T₀)^1/2.

9.2. Критические параметры потока

Критическими называются параметры потока в том сечении, где скорость потока равна скорости звука, т.е. –

w ≡ a.

Такие параметры принято обозначать, добавляя к соответствующему символу нижний индекс “*”, например, Т_*.

Экспериментальным путем установлено, что параметры потока достигают критических значений в каналах конусообразных форм, причем в наиболее узких сечениях (рис. 27).

Э ти сечения также называют критическими.

Определим критическую температуру Т_*. Запишем равенство, полученное выше –

Т₀/Т = 1 + (γ – 1)·М²/2.

Рис. 27. Критические сечения (*) конусообразных каналов

Примем за произвольное сечение критическое, т.е. Т = Т_*, w_* = a_*, M = M_* = w_*/a_*. Очевидно, что в критическом сечении число Маха равно единице. Тогда

Т₀/Т_* = 1 + (γ – 1)/2.

Преобразуем правую часть последнего равенства –

1 + (γ – 1)/2 = (2 + γ – 1)/2 = (γ + 1)/2.

Тогда

Т₀/Т_* = (γ + 1)/2,

откуда

Т_*/Т₀ =2/(γ + 1).

Окончательно

Т_* = 2·Т₀/(γ + 1).

Определим критическое давление р_*. Для изоэнтропного потока

р_*/р₀ = (Т_*/Т₀)^{γ/(γ – 1)}.

Отсюда легко получить искомый результат –

р_* = р₀∙[2/(γ + 1)]^{γ/(γ – 1)}.

Определим критическую плотность ρ_*. Для изоэнтропного потока

ρ_*/ρ₀ = (р_*/р₀)^1/γ.

Но

р_*/р₀ = [2/(γ + 1)]^{γ/(γ – 1)}.

Отсюда

ρ_*/ρ₀ = [2/(γ + 1)]^{1/(γ – 1)}

и окончательно

ρ_* = ρ₀·[2/(γ + 1)]^{1/(γ – 1)}.

Критический удельный объем v_* нетрудно определить из равенства

v₀/v_* = [2/(γ + 1)]^{1/(γ – 1)},

т.к. v = 1/ρ.

Определим скорость w_* в критическом сечении потока. По определению она равна скорости звука, т.е. w_* = a_*. Согласно формуле Лапласа

w_* = a_* = (γ·R·T_*)^1/2.

На практике для расчета w_* используется другое равенство. Преобразуем полученное выражение с учетом формулы для Т_*, т.е.

Т_* = 2·Т₀/(γ + 1).

Домножим обе ее части на произведение γ·R –

γ·R·T_* = 2·γ·R·T₀/(γ + 1).

Возьмем квадратный корень, и тогда –

w_* = (γ·R·T_*)^1/2 = [2·γ·R·T₀/(γ + 1)]^1/2.

Необходимо сделать важное замечание. Последнее равенство при решении практических задач нельзя путать с формулой для вычисления максимальной скорости течения потока. Ранее было получено, что

w = [2·γ·R·T₀·(1 – T/T₀)/(γ – 1)]^1/2,

где Т – температура газа в произвольном сечении. Если за критическим сечением канал расширяется, а температура потока падает, то скорость истечения РТ возрастает. Приведенное соотношение отражает закон преобразования тепловой энергии в кинетическую. Очевидно, что поток достигнет максимальной скорости, когда его температура Т станет равной нулю, т.е. –

w_max = [2·γ·R·T₀/(γ – 1)]^1/2.

Согласно третьему закону термодинамики абсолютного нуля температуры достичь нельзя. Таким образом, практически невозможно добиться и максимальной скорости течения потока РТ. Значит, всегда справедливо неравенство –

w_* < w_max.