6.9. Исследование изобарного процесса
1. Условия процесса –
p = const, dp = 0.
2. Удельная теплоемкость процесса –
c = dq/dT = dqp/dT = cp.
3. Показатель политропы –
n = (c – cp)/(c – cv) = (cp – cp)/(cp – cv) ≡ 0.
4. Уравнение процесса в координатах <v, p> –
p·vn = const → p·v0 = const, p = const
(график представлен на рис. 20).
Рис. 20. Рабочая диаграмма изобарного процесса
5. Уравнение процесса в координатах <s, T> –
T = T0·es/c = T0·es/cp
(график представлен на рис. 21).
6. Уравнение состояния процесса –
p·v = R·T.
Отсюда
p·v1 = R·T1 и p·v2 = R·T2.
Очевидно, что
v2/v1 = T2/T1.
Рис. 21. Тепловая диаграмма изобарного
процесса (экспоненциальная зависимость)
7. Работа расширения –
v2 v2
l = ∫p·dv = p·∫dv = p·(v2 – v1), т.к. p = const.
v1 v1
8. Теплота процесса (с учетом модифицированной формы записи первого закона термодинамики) –
dq = di + dlр,
где dlp = – v·dp. В случае изобарного процесса dp ≡ 0, откуда dlp = 0 и dq = di, т.е.
q = ∆i = cp·(T2 – T1).
9. Расчет изменений функций состояния –
∆u = u2 – u1 = cv·(T2 – T1);
∆i = i2 – i1 = cp·(T2 – T1);
∆s = s2 – s1 = cp·ln(T2/T1).
6.10. Исследование изотермического процесса
1. Условия процесса –
T = const, dT = 0.
2. Удельная теплоемкость процесса –
с = dq/dT → cT = dq/0 = ± ∞.
3. Показатель политропы –
n = (c – cp)/(c – cv) = (cT – cp)/(cT – cv) = ∞/∞ = 1.
4
.
Уравнение процесса в координатах <v,
p>
–
p·vn = const → p·v = const
или
p = const/v
(график см. на рис. 22).
Рис. 22. Рабочая диаграмма изотермического
процесса (гиперболическая зависимость)
5. Уравнение процесса в координатах <s, T> –
T
= T0·es/c
→ T = const
(график представлен на рис. 23).
6. Уравнение состояния процесса –
p·v = R·T →
p1∙v1 = R·T;
p2·v2 = R·T,
откуда
Рис. 23. Тепловая диаграмма изотермического
процесса
p2·v2/p1·v1 = 1.
Таким образом,
p1/p2 = v2/v1.
7. Работа расширения –
v2 v2
l = ∫p·dv = R·T·∫(dv/v) = R·T ln(v2/v1),
v1 v1
т.к. (по условию) T = const, а p = R·T/v.
8. Теплота процесса –
dq = du + dl; q = ∆u + l.
В рассматриваемом случае (T = const) ∆u = 0, а
q = l.
9. Расчет изменений функций состояния –
∆u = u2 – u1 = cv·(T2 – T1) = 0;
∆i = i2 – i1 = cp·(T2 – T1) = 0;
∆s = s2 – s1 = cv·ln(p2/p1) + cp·ln(v2/v1).
6.11. Обобщенные графики политропных процессов
Указанные в заголовке темы диаграммы представлены на рис. 24. Их изучение крайне важно, т.к. они наглядно иллюстрируют важнейшие принципы, лежащие в основе работы тепловых машин.
Согласно первому закону термодинамики
dq = du + dl.
Кроме того, по определению
dq = T·ds, du = cv·dT, a dl = p·dv.
Используя четыре записанных уравнения, на обобщенных диаграммах можно легко выявить положительные и отрицательные области для теплоты q, внутренней энергии u и работы l.
Чтобы проанализировать изучаемый термодинамический процесс, достаточно знать показатель его политропы, а также принимать во внимание, уменьшается или увеличивается при его протекании удельный объем РТ v.
Пусть показатель политропы n = – 1, а в ходе процесса удельный объем увеличивается, т.е. dv > 0. Тогда к ТДС подводится теплота (dq > 0), РТ нагревается, его внутренняя энергия растет (du > 0), кроме того, оно расширяется, совершая работу над ОС (dl > 0). В рассмотренном случае к ТДС подводится столько теплоты, что за ее счет увеличивается внутренняя энергия системы, а также совершается работа расширения.
Рис. 24. Рабочая (а) и тепловая (б) обобщенные диаграммы политропных процессов
Предположим, что процесс, характеризующийся значением n = – 1, протекает с уменьшением удельного объема, т.е. dv < 0. При этом ОС совершает работу над РТ, сжимая его, таким образом, dl < 0. Кроме того, падает внутренняя энергия (du < 0), а ТДС отдает теплоту ОС (dq < 0).
Обобщенные диаграммы позволяют без громоздких расчетов качественно анализировать термодинамические процессы и давать экспертное заключение о том, в каких тепловых машинах они могут использоваться на практике.