4 .Нормальный закон распределения.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

Главная особенность, выделяющая закон Гаусса среди других законов, состоит в том, что он является предельным зако­ном, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа не­зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно зако­нам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений) приближенно распределена по нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случай­ных величин суммируется.

Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д. могут быть представлены как суммы весьма большого числа срав­нительно малых слагаемых — элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма ока­зывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы все они равномерно играли в общей сумме относительно малую роль

Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности описывается функцией:

,

где m — математическое ожидание; — среднеквадратическое отклонение.

Отметим важное свойство – линейные операции над нормальной случайной величиной приводят опять к нормальной случайной величине ( с другими характеристиками)

Случайную величину с нулевым математическим ожиданием и единичным среднеквадратичным отклонением называют стандартной нормальной. или нормированной.

Для вычислений вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток возможных значений используются приведенная функция плотности вероятности и приведенная функция распределения (функция распределения для так называемой нормированной случайной величины с m = 0 и = 1):

Функция Ф*(х) обладает следующими свойствами: Ф*(0) = 0.5, Ф*(х) = 1 - Ф*(-х).

Значения этой функции табулированы. Она нечетна. Задавая , по таблице легко найти Ф( ). Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и , то:

.

При вычислениях, связанных с нормальным законом, часто используют интеграл Лапласа:

При этом следует иметь в виду, что Ф*( ) = Ф( ) + 0.5, и тогда формула для остается справедливой.

Задача. При изготовлении бумаги наблюдается отклонение ее плотности от номинала, равного 100 г на квадратный метр. Если считать, что плотность бумаги есть нормально распределенная величина с = 5 г, найти вероятность того, что плотность бумаги будет отличаться от номинала не более, чем на 2 г, и не менее, чем на 3 г.

. Решение задачи дается непосредственным использованием формулы:

=

=Ф*(0.4) - Ф*(-0.6) = 0.6554 - 0.2743 = 0.3811.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. Ча­сто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нор­мально распределенной случайной величины от ее матема­тического ожидания по абсолютной величине меньше некоторого положительного числа, заданного в долях , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства . Заменяя это неравенство эквивалентным двойным и используя форму­лу , получим: =

Мы приняли во внимание нечетность нормированной функции Лап­ласа.

Применим полученную формулу для конкретных

Положим t = 1: 0.6826;

положим t = 2: 0.9544;

положим t = 3: 0.9973.

Таким образом, вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожи­дания по модулю будет меньше утроенного среднего квадратичное отклонения, равна 0.9973. На практике удобно использовать правило «трех сигм», которое можно сформулировать так: «с вероятность большей, чем 0.997, случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет принимать значения в промежутке »

Пример. Имеется партия изделий, в которой могут попадаться качественные и бракованные. Число бракованных изделий — случайная величина, характеризующаяся так: среднее число бракованных изделий (математическое ожидание) составляет 12% и среднеквадратическое отклонение — 3%. Отобрано 100 изделий. Какое число бракованных изделий окажется среди них?

Решение. Должно быть понятным, что точно ответить на такой вопрос в принципе невозможно. Однако использую правило «три сигма», легко найти следующий ответ: можно быть прак­тически уверенным, что бракованных деталей будет не менее и не более .

Формально это можно записать так: Р(3<Х<22) > 0.997.

ТИПОВЫЕ ТЕСТЫ для подготовки.

(Жирным шрифтом выделены правильные ответы.)

1. Всегда зависимы события:

1. если они несовместные;

2. если они образуют полную группу

3. если они равновозможны.

2. Для дискретной случайной величины верно

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины – это

2.Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины

вычисляется по формуле

3. График ее функции распределения является прямая.

Случайную величину X умножили на . Тогда умножаются на следующие ее характеристики:

1. Математическое ожидание.

2. Среднее квадатичное отклонение.

1. Числовые характеристики дискретной случайной величины это:

   1. функция распределения

   2. ряд распределения

   3. плотность распределения

2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины это:

   1. функция распределения

   2. плотность распределения

   3. ряд распределения

3. В системе аксиом Колмогорова А.Н. неопределяемыми понятиями являются

1.элементарное событие

2. вероятность

3.алгебра событий.

7. Если случайная величина Х такова, что ее математическое ожидание равно нулю. Тогда случайная величина Х является

1.нормированной

2.центрированной

3. ее дисперсия близка к нулю.

8. Случайные величины Х и Y независимы. Правильными соотношениями являются следующие:

а) D(X – Y) = D(X) + D(Y) б) в)M(X – Y) = M(X) + M(Y)

9. Сумма двух событий совпадает с их произведением, если эти события______________

(Ответ дайте одним словом) Ответ. эквивалентны

10. Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью_____________(укажите название теоремы ) . Ответ. теоремой Муавра-Лапласа

11. Чтобы определить, сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, когда с вероятностью 0,9 ожидать отклонение частоты выпадения "герба" от 0,5 на абсолютную величину меньшую чем 0,02, следует воспользоваться_____________ (укажите название теоремы Ответ. теоремой Муавра-Лапласа

12. Игральную кость бросают 100 раз. Чтобы найти границы, в которых будет заключено число выпадений тройки с вероятностью 0,95, можно воспользоваться_____________ (укажите название теоремы) . Ответ. теоремой Муавра-Лапласа

13. Электростанция обслуживает сеть, в которой 2000 ламп, вероятность включения каждой из них в зимний вечер равна 0,8. Вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет более 1800, можно определить с помощью_____________ (укажите название теоремы).

Ответ. теоремой Муавра-Лапласа

14. Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: –2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда d равна______________________(укажите число с точностью до целых)

Ответ. 4

15. Дана выборка объема n = 10: 0, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9. Выборочное среднее равно______________________(укажите число с точностью до 0,1). Ответ.

16. Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочная дисперсия S² равна______________________(укажите число с точностью до 0,1) Ответ.

17. В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса. Это число ___________(укажите число с точностью до целых)

Ответ. х = 0,2.

18. Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, число наблюдений надо увеличить в ___ раз(а) (укажите число целых). Ответ. 4

19. Из генеральной совокупности извлечена выборка и составлена таблица эмпирического распределения: Точечная оценка генеральной средней составит________(укажите число). Ответ. 4

20. Автомашина пришла из Минска в Могилев со скоростью 40 км/ч и сразу же повернула обратно. Скорость ее на обратном пути была на 20 км/ч больше. Средняя скорость составила ___ км/ч (укажите число) Ответ. 48

21. По выборке построена гистограмма. Медиана равна ___________(укажите число) Ответ. 1

22. Величина  имеет распределение N(a, ). Вероятность p{ < a – 1,65} равна ___________(укажите число). Ответ. 0,05

23. Выборка задана таблицей.

Медиана выборки равна________________________(укажите число). Ответ. 1

24. Для построения доверительного интервала для оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте надо пользоваться таблицами _______ распределения________( вставьте пропущенное слово).