Примеры 44–47

44. Нейтральный элемент е относительно бинарной операции на любом множестве, очевидно, является симметричным самому себе: s (е) = е.

45. На множестве натуральных чисел N относительно сложения (умножения) ни одно натуральное число n не имеет противоположного (обратного) натурального числа.

46. На множестве Z для любого целого числа z существует противоположное целое число -z относительно сложения.

47. В векторном пространстве относительно сложения для любого вектора существует противоположный вектор - .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебра = типа (2) называется группоидом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подалгебра  типа (2) группоида  называется подгруппоидом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ З. Бинарная операция называется ассоциативной, если выполняется условие

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебра  типа (2) с ассоциатив-ной бинарной операцией называется полугруппой.

ОПРЕДЕДЕНИЕ 5. Бинарная операция на множества А называется коммутативной, если для любых элементов х, у из А выполняется условие

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Центральным элементом множества А относительно бинарной операции называется каждый элемент с, перестановочный со всеми элементами х из А:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Бинарная операция т называется двояко дистрибутивной или просто дистрибутивной относительно бинарной операции , если выполняется условие:

T T T T T T .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Говорят, что бинарная операция на множестве А является обратимой, если выполняется условие

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Элемент e из А называется левым нейтральным элементом относительно бинарной операции если для любого элемента х из А выполняется условие

e x = x.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Элемент е из А называется правым нейтральным относительно бинарной операции , если для любого элемента х из А выполняется условие

x е = x.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Элемент е из А называется нейтральным относительно бинарной операции , если он является левым и правым нейтральным, то есть для любого элемента х из А выполняются условия

e x = х е = х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Алгебра =(А; ,е) типа (2,0) с ассоциативной бинарной операцией называется моноидом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Элемент называется поглощающим относительно этой операции, если для любого выполняется равенства

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Элемент r из А называется регулярным слева относительно бинарной операции , если выполняется условие:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Элемент r из А называется регулярным справа относительно бинарной операции , если выполняется условие:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Элемент r из А называется регулярным относительно бинарной операции , если он регулярен слева и справа относительно , то есть выполняются условия:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Элемент s (х) из А называется левым симметричным к элементу х из А относительно бинарной операции , если выполняется условие:

s (х) x = e.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Элемент s (x) из А называется правым симметричным к элементу x из А относительно бинарной опера-ции , если выполняется условие:

x s (x) = е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Элемент s(x) из А называется симметричным к элементу х из А относительно бинарной операции , если он является левым и правым симметричным к x, то есть выполняются условия:

s(x) x = x s(x).