Примеры 20–22
20. Так как операция сложения на множествах N, Z, Q, R является коммутативной, то относительно сложения центром этих множеств соответственно является C(N)=N, C(Z)=Z, C(Q)=Q, C(R)=R. Это утверждение верно и относительно операции умножения на этих множествах.
21. Вообще, очевидно, что, если бинарная операция коммутативная на множестве А, то С (А)= А.
22.
С(M
)=
=
E
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Бинарная операция т называется двояко дистрибутивной или просто дистрибутивной относительно бинарной операции , если выполняется условие:
T
T
T
T
T
T
.
Операция T не дистрибутивна относительно бинарной операции , если в множестве А содержится по крайней мере одна тройка элементов х, у, z, для которых не имеет места хотя бы одно из записанных в (4) условий.
Примеры 23–24
23. Умножение натуральных (целых, рациональных, действи -
тельных) чисел дистрибутивно относительно сложения, так как неверно, что
.
24.Сложение натуральных (целых, рациональных, действительных) чисел не дистрибутивно относительно умножения, так неверно, что .
п. 3. Обратимые операции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Говорят, что бинарная операция на множестве А является обратимой, если выполняется условие
.
(5)
Очевидно, что если бинарная операция коммутативная, то х= у.
Смысл условий (5) в том, что операция обратимая, если уравнения
,
(5
)
.
(5
)
относительно переменных х и y имеют единственное решение.
С другой стороны, условия (5) означают, что для бинарной операции выполняется обратная операция. Обратная операция не является новой независимой бинарной операцией; она -производная от бинарной операции .
Если
="+"- коммутативная операция сложения,
то обратную ей операцию называют
вычитанием.
Элемент х,
удовлетворяющий условиям
называют разностью
элементов b
и а
и записывают через x
= b-a.
Если ="" - коммутативная операция умножения, то обратную ей бинарную операцию называют делением. Элемент х, удовлетворяющий условиям а х = b и х a = b называют частным элементов b и а и записывают x = b:a или x = b/a.
Примеры 25–30
25. Для бинарных операций сложения и умножения на мно-
жестве N обратные им операции вычитания и деления
невыполнимы.
26. Бинарная операция сложения на Z, Q, R- обратимая.
27. Бинарная операция умножения на, Z, Q, R -необратимая.
28. Бинарная операция умножения на – Q*=Q\{0}, R*=R\{0} - обратимая.
29. Сложения матриц на М является обратимой операцией, так как
30. Умножение матриц на М не является обратимой операцией, то есть не всегда выполняется условие
Уравнение
АХ=В
равносильно следующему уравнению X=A
B
, а A
существует
только при условии
.
п.4. Нейтральный элемент.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
9. Элемент e
из А
называется левым
нейтральным
элементом
относительно
бинарной операции если для любого
элемента х
из А
выполняется условие
e x = x. (6 )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
10. Элемент е
из А
называется правым
нейтральным
относительно бинарной операции
,
если для любого элемента х
из А выполняется
условие
x е = x. (6 )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Элемент е из А называется нейтральным относительно бинарной операции , если он является левым и правым нейтральным, то есть для любого элемента х из А выполняются условия
e x = х е = х.. (6)
Нейтральный элемент аддитивно записываемой бинарной операции называется нулевым или нулем (или началом) и обозначается через 0 (если только это не сопряжено с риском смешения с натуральным числом 0).
При мультипликативной записи бинарной операции нейтральный элемент называется единичным или единицей и обозначается просто через 1 (если нет опасности путаницы с натуральным числом 1).