§1. Бинарные операции

п. 1. Аддитивная и мультипликативная формы записи бинарных операций. Таблица Кэли. В этом параграфе будем рассматривать бинарные операции на алгебре = .

Пусть на основном множестве А алгебры = заданы бинарные операции _*, о, T, , ,… В большинстве случаев эти бинарные операции более или менее близки к операциям сложения и умножения чисел и поэтому каждую из mix также называют или сложением, или умножением.

Если бинарную операцию, определенную на множестве А, называют сложением, то тогда элемент z, который этой операцией ставится в соответствие паре элементов (x;y), называют суммой этих элементов, а элементы x и у слагаемыми; результат действия бинарной операции записывают так: z = х + у. Форму записи бинарной операции в виде х+у при этом называют аддитивной. Слово "аддитивная" от латинского слова " additio "- слагать.

Если бинарную операцию, определенную на множестве А, называют умножением, то тогда элемент z, который этой операцией ставится в соответствие паре элементов (х;у), называют произведением этих элементов, а элементы х и у сомножителями; результат действия бинарной операции записывают так: z= y. Форму записи бинарной операции в виде при этом называют мультипликативной. Слово "мультипликативная" от латинского слова “multipiico ^“-умножать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Необходимо помнить, что при аддитивной или мультипликативной записях бинарной операции это действие может не иметь ничего общего с обычными действиями сложения и умножения.

Мультипликативная форма записи бинарных операций распространена больше всего. Однако при изложении исходных понятий общей теории бинарных операций мы будем пользоваться общими обозначениями: _*, о, T, , ,…

Фактическое задание бинарных операций на множестве А может быть произведено различными методами. Можно, исходя из конкретной природы элементов, составляющих А, указать закон (в частности формулу), выделяющий те пары, для которых определен результат действия, и то, как строится элемент, являющийся результатом действия для каждой такой пары. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов

бинарной операции. Его удобно всего осуществить при помощи так называемой таблицы Кэли. На пересечении строки, соответствующей элементу х, и столбца, соответствующего элементу у, пишут результат действия бинарной операции над парой (х;у) или черточку, если результат действия бинарной операции для данной пары не определен. Хотя на самом деле таблица Кэли может быть построена лишь для конечного множества А и притом с не слишком большим числом элементов, теоретически можно рассматривать таблицу Кэли при любом множестве А - конечном и даже бесконечном.

Примеры 1–2

1. Во множестве А = {1; 2; 3; 4; 5; 6} рассматривается действие сложения. Определить, для какого числа пар определен результат действия.

Решение. Составим таблицу Кэли для действия сложения на А и подсчитаем число пар, для которых сложение определено.

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	-
2	3	4	5	6	-	-
3	4	5	6	-	-	-
4	5	6	-	-	-	-
5	6	-	-	-	-	-
6	-	-	-	-	-	-

Из таблицы Кэли видно, что не для любого и не для любого действие сложения определено. Всего число пар (х; у) равно . Сложение является частичной бинарной операцией во множестве A и определяется для пар то есть для пар.

2. Во множестве А={1;2;3;4;5;6} рассматривается действие вычитание. Составить таблицу Кэли. Является ли это действие бинарной операцией на множестве А?

Решение. Так как таблица Кэли для действия вычитания во множестве А имеет вид , то действие вычитания не является бинарной операцией на множестве А. Оно является частичной бинарной операцией во множестве А и определяется для пар (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) то есть только для 15 пар, в то время как всего можно составить 36 пар.

-	1	2	3	4	5	6
1	-	-	-	-	-	-
2	1	-	-	-	-	-
3	2	1	-	-	-	-
4	3	2	1	-	-	-
5	4	3	2	1	-	-
6	5	4	3	2	1	-

П.2. Виды бинарных операций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебра  = типа (2) называется группоидом.

По этому определению любое множество, наделенное одной бинарной операцией, является группоидом.