3. Задача о свободных колебаниях ограниченной струны, закрепленной на концах.
Пусть
функция
описывает малые поперечные колебания
струны,
.
Уравнение
колебаний:
(1),
- время,
- координата точки на струне
,
зависящая от параметров струны.
Пусть
(2)
Условия (2) - начальные условия (задача Коши).
Пусть
струна закреплена
на обоих концах:
,
условия (3) - граничные условия.
Метод
Фурье:
будем искать
в виде
.
Тогда
.
Из
(1) сдедует:
.
То есть уравнение эквивалентно системе
.
Рассмотрим первое из этих уравнений. Из условий закрепления (3) следует:
.
Задача
называется задачей Штурма-Лиувилля.
а)
если
.
б)
если
- различные действительные корни
.
(аналогично
случаю а), т.е. такие
тоже исключаем).
в)
условие разрешимости задачи:
.
Тогда характеристическое уравнение
(ХУ)
имеет чисто мнимые корни
.
- собственные
числа
задачи Штурма-Лиувилля.
Функции
составляют Ф.С.Р. и называются собственными
функциями
задачи Штурма-Лиувилля
.
Рассмотрим
теперь другое уравнение:
.
Итак,
мы имеем
и
.
Тогда частное решение
,
а общее решение = линейной комбинации
частных:
.
Найдем коэффициенты
из начальных условий (2):
- коэффициент ряда Фурье функции
,
заданной на полупериоде
,
продолженной нечетным
образом (т.к. ряд только по косинусам);
,
- коэффициент Фурье функции
,
заданной на полупериоде
,
продолженной нечетным образом, а
.
Тогда
,
где
.
Пример. Задача т.р. № 6.
.
,
,
,
,
.
,
.
Ответ:
.
4. Задача о распространении температуры в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.
Уравнение
теплопроводности:
- однородное уравнение параболического
типа. Начальные условия:
- начальная температура.
Различные типы граничных условий:
-
на концах поддерживается нулевая
температура.
-
оба конца теплоизолированы.
-
смешанного типа.
5. Метод Фурье для решения уравнений эллиптического типа.
Функции,
удовлетворяющие уравнению
называются гармонические.
Задача.
Найти функции, гармонические внутри
прямоугольника
,
если на его границах выполняются условия:
.
Будем
искать
.
.
или
(что то же самое, т.к.
)
.
.
.
Найдем
:
,
.