Ряды Фурье по тригонометрическим системам.
Опр:
Системы
(1) и система
(2)
будем называть тригонометрическими
системами. Докажем
ортогональность
для системы (1) на
:
Опр:
ортогональна на множестве, если
.
а)
,
как интеграл от нечетн. функции на четном
интервале.
б)
.
в)
(в силу нечетности произведения функций).
г)
.
д)
Итак, какие две различные функции мы не возмем, они ортогональны, значит
система
ортогональна на
.
Вычислим нормы элементов системы (1):
.
.
.
Итак:
.
Запишем тригонометрический ряд для произвольной функции. Ряд Фурье по
тригонометрической
системе на
:
Это
ряд Фурье функции
по
системе (1) на
.
Вычислим коэффициенты
.
Умножим
скалярно
левую и правую части на 1:
.
В силу ортонормальности
системы
(1) все отмеченные произведения равны
0, за исключением первого
.
Обозначим за
.
Для вычисления
умножим
обе части на
:
.
В
силу ортогональности системы все отмеченные скобки равны 0, за исключением
предпоследней
.
Чтобы вычислить коэффициенты
умножим
обе части на
:
.
В силу ортогональности системы все скобки равны 0, за исключением последней
.
Итак,
функция
,
заданная на отрезке
,
представима на этом
отрезке
следующим рядом Фурье:
,
где
.
Если функция задана на
,
то
ее
ряд Фурье будет таким же, только будут
.
Ряды Фурье для функций, обладающих четностью и нечетностью.
Опр.
четная, т.е.
.
В этом случае
и
ряд Фурье для четной функции будет
содержать
только косинусы:
.
Опр.
нечетная, т.е.
.
В этом случае
и
ряд Фурье для нечетной функции будет
содержать
только
синусы:
.
Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.
Пуcть
f(x)
задана на интервале
.
Продолжим ее на
,
а затем продолжим на всю числовую ось
с периодом
.
Полученную функцию можно представить
в виде ряда Фурье по системе функций
Если выбрать способ
продолжения на
так, чтобы получилась нечетная функция:
то ряд Фурье будет
содержать только синусы, т.к.
Если выбрать способ
продолжения на
так, чтобы получилась четная функция:
то ряд Фурье будет
содержать только косинусы, т.к.
Отметим, что предложенными двумя способами продолжения не исчерпываются, но они наиболее востребованы, т.к. дают ряды удобного вида.
Применение метода Фурье к решению некоторых задач математической физики.
1. Уравнение в частных производных.
Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение
относительно
функции нескольких переменных
и её частных производных различных
порядков:
.
2. Уравнения математической физики.
Уравнениями математической физики называются линейные дифференциалые уравнения 2-го порядка в частных производных. Например:
.
С помощью замены переменных такие уравнения преобразуются в уравнения одного из следующих трех типов:
(1)
(2)
(3)
.
Введем
обозначение:
- оператор Лапласа. Тогда уравнения
(1),(2),(3) можно записать в виде:
(1)
(2)
(3)
.
Уравнения типа (1) называются уравнениями гиперболического типа, или
волновыми уравнениями. Такое уравнение описывает колебания струны, мембраны, течение жидкости, волны и т.д.
Уравнения типа (2) называются уравнениями параболического типа. Они описывают распространение тепла в средах и называются уравнениями теплопроводности.
Уравнения типа (3) описывают стационарные процессы (не зависящие от времени). Они называются уравнениями эллиптического типа, или уравнениями Лапласа.
Если
функция
,
стоящая в правой части уравнения такая,
что
.
Например, уравнение (1) при
описывает собственные колебания (или
свободные колебания), а при
-
вынужденные колебания системы.