Степенные ряды.

1. Теорема Абеля

Рассмотрим наиболее общий вид степеного ряда: ,

где - комплексная переменная.

Теорема. Если ряд сходится в точке , то он абсолютно

сходится в круге и сходится равномерно в круге .

Напоминание: геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел -

расстояние между точками: .

Следствие. Если ряд расходится в точке , то вне круга

он расходится (доказательство "от противного").

2. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

Опр. Положительное вещественное число R называется радиусом сходимости

степенного ряда , если он сходится в круге , и расходится

вне его, т.е. для .

Опр. Круг с центром в точке называется центром сходимости.

Замечание. На окружности поведение степенного ряда неизвестно.

Он может сходиться или расходиться в различных точках этой окружности.

Теорема (Коши-Адамара). Рассмотрим ряд . Если , то

.

Замечание. Центр круга сходимости - в точке => зная радиус R, мы знаем

область сходимости.

Ряды Тейлора

1. Единственность ряда Тейлора

Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка, т.е.

Определение 1:

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

Если , то ряд (1) превращается в ряд

называется рядом Маклорена функции f(x)

Итак, ряд Тейлора – ряд по степеням разности , а ряд Маклорена – ряд по степеням X.

Теорема 1 (необходимое условие представления степенным рядом)

Если в некоторой окрестности точки справедливо разложение ,

то f(x) – бесконечно дифференцируема и коэффициенты вычисляются по формулам:

Теорема 2:

Ряд Тейлора для F(x) в точке определяется единственным способом.

2. Условие представимости функции рядом Тейлора

Теорема 1 (критерий разложения в ряд Тейлора)

Пусть f(x) дифференцируема в интервале . Тогда ее ряд Тейлора сходится к f(x) тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремиться к нулю при

Краткая запись:

Теорема 2: (Достаточное условие разложения в ряд Тейлора)

1. f(x) бесконечно дифференцируема в интервале и

2. 

1), 2)

3. Ряды Маклорена основных элементарных функций.

Методы разложения функций в ряд Тейлора.

Ряды Фурье. Ортогональные системы функций и общие ряды Фурье.

1. Понятие гильбертова пространства.

Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она

непрерывна всюду на этом сегменте за исключением конечного числа точек

разрыва первого рода.

Рассмотрим множество всех таких функций с

интегрируемым квадратом: .

Утв.1 Пространство - линейное векторное пространство.

Аксиомы линейного пространства выполняются.

1) (переместительное св-во). .

2) (распределительное св-во).

.

3) . .

4) . Чтобы выполнялась 4я аксиома, придется принять

дополнительное условие: если - точка разрыва, то

(чтобы в точках разрыва нулевой элемент тоже равнялся

нулю).

Утв. 2 Пространство - линейное векторное пространство со скалярным

произведением, для которого выполнены все аксиомы => - евклидово п-во.

Определение. Полное евклидово пр-во называется гильбертовым пр-вом в

честь немецкого математика Гильберта (1862-1943), кот. в 1900 сформулировал

23 проблемы математики.

Понятие полноты пространства разберем ниже.

2) Норма функции и её свойства.

Опр. Число называется нормой функции , если .

Св-ва нормы:

В пространстве определим норму .

Утв.3 - линейное нормированное пространство.

3) Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Опр. 1 и называются ортонормированными на , если их

скалярное произведение = 0, т.е. .

Опр. 2 Система функций называется ортогональной на ,

если функции системы попарно ортогональны, т.е..

Опр.3 Система называется ортонормированной, если

.

4) Метод ортогонализации линецно независимой системы функций. (метод

Грамма-Шмидта).

Пусть - линейно-независимая система функций, т.е. в евклидовом

пространстве . Положим

. .

Тогда - ортогональная система, а - ортонормированная.

5) Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

- ортогональная система функций в . Предположим, что

разложима в ряд по системе и он : (1)

,

.