Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:

Вопрос 20. Постановка 2-х точной краевой задачи. Её

ДКЗ представляет собой задачу отыскивания реш. обыкновенного диф. ур. на отр. [а; б] при условии, что реш. заданы на обоих краях отрезка. Рассмотрим методы реш. задач этого класса, кот. можно записать в виде: U''(x)=f(x, u); на примере стационарного ур. теплопроводности:

. Здесь k(x) играет роль коэф. теплопроводности, - плотность потока тепла. Помимо этого, указанное ур. может описать процесс диффузии газов, деформированию ступ и ступеней, распределение эл. магнитных волн, установившееся распределение плотности патронов в реакторе и многое другое.

Предпримем, что ф-и q(x), k(x), f(x) известны и выполняется условие k(x)>0, q(x)>0. Тогда распределение температуры в стержне, описывание ф-ей f(x), м.б однозначно определено при задании состояния U(x) на границах отрезка [a, b], т.е U(a)=Ua, U(b)=Ub. Такие краевые условия наз. краевыми условиями 1-го рода. Часто краевую задачу записывают в операторном виде: L[U](x) – диф. оператор

Одним из широко распространенных методов реш. задачи (1) с ограничением (2) явл. метод конечных разностей. В этом методе область непрерывного аргумента заменяет конечным множеством точек (сеткой). После этого вместо ф-ии непрерывного арг. рассмотренные вводится ф-ия, определяющаяся только в узлах сетки (сеточная ф-ия). В этом случае произвед. м. б заменены своими разностными аналогами, т. е приближенно численными выражениями. В итоге исходная краевая задача заменяется дискретной краевой задачей или разностной схемой, представляющей собой сист. линейных и нелинейных алгебраич. ур., реш. кот. приблизительно принимает за реш. исходной задачи.

Зададим k(x)=1. В этом сл-е исх. задача примет вид. -U''(x)+q(x)U(x)=f(x) (3)

U(a)=Ua, U(b)=Ub (4)

Заменим отрезок [a; b] непрерывного арг. Х сеткой, кот. обозначим . где х₀=а, х_n=b

∂^h – граница отрезка.

В результате реш. задачи 3 после подмены непрерывной ф-ии U(x) сеточной ф-ей будет найдена сеточная ф-я U^h, такая, что

В результате диф. ур. (3) заменяется следующим:

Будем считать, что ф-ия U^h во всех узлах сетки W^h удовлетворяет ур. (5). В этом случае ур. (5) явл. разностным ур. аппроксимации краевой задачи (1) с ограничением (2), фактически явл. системой линейной алгебры уравнений. Преобразуем ур. (5): -U_i-1 +U_i(2+h²q_i)-U_i+1=h²f_i.

U₀=U_a

U_n=U_b

Полученную систему удобно реш. методом прогонки. М-д прогонки предназначен для реш. трёх диагональных матриц:

Прямой ход заключается в расчёте прогоночных коэф. α и β. На обратном ходе выч. знач. неизвестной ф-ии.

Значения ф-ии U_i выч. на обратном ходе: U_n=β_n U_i=α_iU_i+1+β_i,

Вопрос №21. Вычисление собственных чисел матрицы.

В процессе конструирования и анализа больших технич. систем инженеру очень часто приходится сталкиваться с задачей нахожд. собств. чисел и собственных векторов исследуемой системы, кот. характеризуют её внутренние св-ва. Математически задача нахождения собственного числа выглядит след. образом: Пусть задана квадратная матрица Аm,m. Обозначаем скалярное произведение 2-х векторов: - норма.

Число  явл. собств. числом матрицы А, если найдётся ненулевой вектор Х, для кот. вып. равенство

(1) Ах = х. В этом случае вектор Х наз. собственным вектором матрицы А. Запишем (1) в др. виде:

(А-Е)х=0 (2). Е – единичная матрица. Эта система будет им. ненулевое решение тогда, когда определитель матрицы det (A-E)=0 (3). Раскрывая ур. (3), мы получаем характеристическое ур. вида: . Известно, что алгебраическое ур. степени m им. m корней в области комплексных чисел, т.е люб. матрица А порядка m им. ровно m собственных значений, комплексно сопряжённые. Во многих дисциплинах сущ. задачи, связывающие с выч. всех собств. чисел. В этом случае задача наз. полной проблемой собственных значений. Однако, гораздо чаще в задачах треб. определить одно собственное значение или некоторую их часть. Такие задачи наз. частичной проблемой собственных значений. В плане постановки такой задачи существующий интерес представляет нахождение собственного числа, наиболее близкого расположенного к заданному, или нахождение наибольшего или наименьшего собственного числа. Характеристическое ур. можно решать любым численным методом с последующим понимание порядка ур. после нахождения одного из корней. Пример:

₁=1; делим на -1: -²+8-13=0 → ₂=4±

Описанный приём для реш. характерного ур. относят к прямым методам реш. проблем собственных значений. Их применению может воспрепятствовать высокий порядок m, когда корни характеристического ур. становятся чувствительны к погрешности и м.б потеряна достоверная инф. об m величене. Рассмотрим один из самых простых методов реш. задачи о собственных числах – степенной метод без сдвигов. Пусть требуется определить max по модулю собственное значение ₁ матрицы А. ₁ д.б вещественным. Возмём произвольный вектор х⁰ и построим из него последовательность векторов и Итерационный процесс:

Теорема: Пусть задана матрица А достаточно простой структуры, для кот. |₁|>|₂|≥|₃|≥…≥|_m|. Предположим что разложение х⁽⁰⁾ по базису собственных векторов х⁰=С₁е₁+ С₂е₂+…+ С_mе_m происходит с С₁≠0. Тогда |^k₁| → |₁|^k→∞и справедлива следующая оценка погрешности:

Исходя из формулы (4), можно записать, что х^(к)=А^к х⁽⁰⁾. Допускается следующее усовершенствование метода: y^(к)=Ах^(k-1), ^(к)=( y^(к), y^(к-1)), Для того. чтобы схема была работоспособной, нужно, чтобы ||x⁽⁰⁾||=1. Подобный подход позволяет избежать возникших в результате вычислений проблем с переполнением или потерей порядка. Одним из недостатков степенного метода без сдвигов явл. его медленная сходимость применительно ко многим прикладным задачам.

15