Вопрос №15. Метод наименьших квадратов.

Для определения параметров эмпирической ф-лы а₀,а₁,…,а_м запишем сумму квадратов отклонений x_i, i=0, n:

Параметры a₀,a₁,...,a_m будем искать при условии минимума функции S = S(a₀,a₁,...,a_m).

Поскольку в этом случае параметры a₀,a₁,...,a_m выступают в роли независимых переменных функции S (1), то ее min найдем, приравнивая к 0 частные производные по этим переменным:

Полученные соотношения представляют собой систему уравнений для определения a₀,a₁,...,a_m.

На практике широко распространен случай, когда в качестве ЭФ используется полином:

Рассмотрим применение МНК для этого случая. Построим сумму квадратов для отклонений:

Найдем частные производные функции S = S(a₀,a₁,...,a_m).

Приравнивая к 0 эти выражения и собирая коэффициенты при неизвестных a₀,a₁,...,a_m, получаем систему уравнений:

Решая полученную СЛАУ получим коэффициенты a₀,a₁,..., a_n многочлена S = S(a₀,a₁,a₁,...,a_n), которые являются исходными параметрами эмпирической формулы.

ВОПРОС №17. Численное интегрирование и дифференцирование.

Численное интегрирование.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

Он может выражать площадь, объем, работу переменной силы и т.д.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и ее можно выразить через известные функции, то для вычисления интеграла (1) можно воспользоваться формулой Ньютона- Лейбница:

Однако в действительности очень часто получить решение (1) с помощью формулы (2) или других аналитических методов невозможно.

Примером может служить широко применяемый для исследования процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей интеграл:

значение, которого не может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

Помимо этого вычисления интеграла (1) в аналитической форме могут быть длительным и трудоемким процессом, приводящим к приближенному результату, или не дающими такового совсем.

На практике помимо аналитических методов широко применяются специальные численные методы. Наиболее широко применяются квадратурные формулы вида:

- некоторые т., ∊[a; b] – узлы квадратной ф-лы;

А_i – числовые коэф., называемые весами квадратной формулы.

Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из геометрических соображений. Известно, что интеграл (1) - площадь криволинейной трапеции, ограниченная сверху функцией f(x) (рис.1).

Разобьем отрезок [a;b] на элементарные отрезки [x_i-1,x_i ] точками

При этом интеграл будет представлять сумму своих составляющих.

Будем считать шаг h = x_i - x _i-1 постоянным и введем обозначения f_i = f (x_i), f_i-1/2 = f (x_i-1/2),

где x_i-1/2 = (x_i-1/2 + x_i) / 2 - середина элементарного отрезка.

Численное дифференцирование.

Во многих задачах решение включает необходимость вычисления производных. Если функциональная зависимость f(x) имеет простой вид, то в вычислительных алгоритмах можно использовать явный вид производной f `(x) для определения ее числовых значений. Однако, в реальных ситуациях, функция f(x) может быть представлена математической моделью или конечным множеством точек (x_i; f_i(x)). В этом случае отсутствует возможность пользоваться аналитическим выражением производной.

Вспомним определение производной:

можно использовать приближенное числовое значение:

- пр-я слева - слева

Вторую производную в точке x_i можно рассчитать по этой же формуле:

и так далее.

Данные формулы дают достаточно высокую точность при задании h→0

Выходом в данной ситуации может быть использование алгоритмов интерполяции.