Вопрос №14. Многочлен Ньютона с оконченными разностями для интерполяции. Характер экспериментальных данных. Понятие аппроксимации. Метод выбранных точек и средних.

Многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции. В рассмотренных выше методах не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполяции. Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, то есть x_i - x_i-1 = const = h, i=2n. h - называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x_i : y_i = f(x_i ). Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле x_i:

Используя конечные разности можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде:

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть N(x_i) = y_i(i = 0,n). Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты a_i :

Таким образом для любого k-го коэффициента формула примет вид:

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона получим его следующий вид:

Конечные разности рассчитываются по приведенным выше формулам.

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную

В этом случае:

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде:

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y = f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n]. Однако, более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученной формуле) ограничиться случаем t < 1, то есть использовать эту формулу для x₀, x, x₁. Для других случаев вместо x₀ принять x_i, если x_i x x_i+1 при i = 0,n-1.

Метод выбранных точек и средних. Он состоит в следующем: по заданным табл. данным X₀Y наносится система т.

После этого проверяется линия, соответствующая внешнему виду (x) и наиболее близко проходящая от заданных точек:

На проведённой линии выбираются нов. т., не принадлежащие системе табличных данных, а их число д.б = кол-ву не известных параметров эмпирической зависемоти. Значение координат в этих точках тщательно измеряются. Они используются для записи системы уравнений , исходя из условия прохождения графика (x) через эти точки. Решая полученную систему ур., находим неизвестные параметры . Другим методом явл. метод средних. Он базируется на предположении, что параметры функции (x) можно определить из равенства 0 суммы погрешности _i во всех точках X_i:

Из полученного ур. можно вычислить не известные параметры Однако, однозначно рассчитать все m+1 параметр из одного ур. нельзя. Поэтому полученные равенства путём группировки погрешностей _I разделяют на систему m-1 ур-я. Решая полученную систему, находим неизвестные параметры.