Вопрос №12. Многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад.

В рассмотренных выше методах не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполяции. Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, то есть x_i - x_i-1 = const = h, i=2n. h - называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x_i : y_i = f(x_i ). Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле x_i:

Используя конечные разности можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде:

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть N(x_i) = y_i(i = 0,n). Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты a_i :

Таким образом для любого k-го коэффициента формула примет вид:

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона получим его следующий вид:

Конечные разности рассчитываются по приведенным выше формулам.

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную

В этом случае:

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде:

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y = f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n]. Однако, более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученной формуле) ограничиться случаем t < 1, то есть использовать эту формулу для x₀, x, x₁. Для других случаев вместо x₀ принять x_i, если x_i x x_i+1 при i = 0,n-1.

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае t = (x - x_n ) / h, то есть t < 0 и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Вопрос №13. Многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции Сплайны.

Использование многочленов высокой степени при решении задачи интерполяции связана с повышением сложности вычислений. Помимо этого необходимы спец методы составления подобных многочленов. Дополнительная трудность составляет накопление ошибок в округлении при проведении вычислений. Выходом может служить применение локальной интерполяции с использованием многочленов невысокой степени. Главным недостатком здесь явл. отличие производных у соседних многочленов в т. стыка. Иногда быв. ситуации, требующие гладкости интерполяции многочлена. В этом случае в качестве интерполяции ф-и рекомендуют исп. сплайны, представленные собой спец образом построенные гладкие кусочно-многочленные ф-и, сочетающие в себе локальную простату и глобальную на всём отрезке [x₀; x_n] гладкость. Пусть отрезок [x₀; x_n] разбит на n частей [x_i-1; x_i]. Тогда сплайном степени m Sm(x) наз. ф-ия, обладающая след. св-ми: 1. ф-ия Sm(x) непрерывна на всём отрезке от [x₀; x_m] вместе со своими производноми до некоторого порядка Р; 2. На каждом отрезке [x_i-1; x_i] сплайн совпадает с некоторым многочленом степени m. S_m(x)=P_m,i(x)

Разность теорем между степенью сплайна и наивысшей на отрезке (x₀; x_n) непрерывной производной наз. дефектом сплайна. Показанный на рисунке. Дефект сплайна = 1.

На практике наиб. распространенные полиномы кубич. сплайны с дефектом 1или 2. На каждом отрезке такой сплайн совпад. с полиномом вида:

Потребуем, чтобы на отрезке (x₀; x_n) сплайн имел как линейно одну непрерывную производную: Величина называется наклоном сплайна. Т.о., на всём отрезке (x_i-1; x_i) кубический сплайн однозначно определяется величинами

(1)

Фактически задача сводится к определению наклонов сплайна S_i-1 и S_i :

Если в т. x_i , где , нам известны не только величины , но и величины , то естественно предположить: . Получаемый в этом случае сплайн называется естественным.

Можно потребовать, чтобы кубический сплайн имел непрерывную на отрезке от x₀ до x_n 2-ю производную. Для этого наклоны Si д.б. подобраны т.о., чтобы в т.т. стыка x_i у соседних полиномов P_3,i(x) и P_3,i+1(x) совпадали значения 2-х производных: . Используя ф-лу (1), найдём выражения 2-х производных для полиномов на i-ом и i+1-ом участках.

Приравниваем значения 2-х производных в т. стыка, получим систему из n-1 ур. для n+1 неизвестного:

Полученная система явл. не доопределённой.

Если известны численные значения , то найденная система

дополнилась бы 2-я ур.: для левой границы:

Если численные значения неизвестны, то полученную систему можно привести к системе, определяющий естественный кубический сплайн. В этом случае искусственно полагают вторые производные на границах отрезка x₀ и x_n = 0.