Многочлен Лагранжа.

Перейдем к случаю глобальной интерполяции, то есть построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [x₀, x_n]. При этом график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Запишем искомый многочлен в виде:

Из условий равенства значений этого многочлена в узлах x_i соответствующим заданным табличным значениям y_i, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов a₀, a₁,...,a_n:

Эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих, то есть, если x_i x_j при i j. Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена. Заметим, что такой путь построения многочлена может потребовать больших вычислений, особенно при большом числе узлов.

Рассмотрим более простой алгоритм построения интерполяционных алгоритмов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени n.

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен l_i (x)=0 во всех узлах интерполяции, за исключением одного (j-го), где он = 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида:

Действительно, l₀(x) = 1 при x = x₀. При x = x₁, ... , x_n числитель выражения = 0. По аналогии получим:

Подставив эти формулы в исходный многочлен получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Докажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще один многочлен F(x) степени n, принимающий в узлах интерполяции заданные значения, то есть F(x_i) = y_i, i = 0,n. Так как F(x_i) = y_i и L(x_i) = y_i, то разность R(x) = L(x) - F(x), являющаяся многочленом степени n (или ниже), в узлах x_i равна:

Если R(x)=L(x)-F(x) 0, то разность R(x) (будучи многочленом не выше n-й степени- это следует из вида многочлена L(x), в котором n+1 слагаемое, каждое по n множителей), в силу основной теоремы высшей алгебры имеет не более n корней.

[Основная теорема алгебры: каждое алгебраическое уравнение n-й степени

коэффициенты, которого a₁,a₂,...,a_n - действительные или комплексные числа, имеет ровно n корней действительных или комплексных.]

Это противоречит равенствам:

число, которых равно n + 1 (система из (n+1)-го уравнения).

Возникло противоречие: многочлен, который не может иметь более n корней, имеет n+1 корень. Следовательно, многочлены L(x) и F(x) тождественны (L(x) F(x)).

Из формулы интерполяционного многочлена Лагранжа

можно получить выражения для линейной и квадратичной интерполяции:

ВОПРОС №10. Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Многочлен Ньютона с распределяющими разностями.

Приближение функций. Постановка задачи. (ВОПРОС №9)

Многочлен Ньютона с распределенными разностями.

Пусть некоторая функция f(x) задана таблицей своих значений {x_i;f(x_i} с произвольным размещением узлов интерполяции.

Разделенными разностями первого порядка принято называть величины:

Разделенные разности второго порядка можно вычислить по формуле:

Т.о, разделение разности k-го порядка можно найти по формуле:

Составим таблицу распределенных разностей:

Разделительные разности обладают след. св-ми:

Свойства разделенных разностей.

1). разделительная разность f ( x_i; x_i+1;x_i+k ) является симметричной функцией своих аргументов x_i,x_i+1,x_i+k (не изменяется относительно любой их перестановки);

2). пусть функция f (x) на отрезке [a;b], содержащем точки x_i,x_i+1,x_i+k, производную порядка k. В этом случае:

Любая функция, непрерывная на [a;b] и имеющая на этом отрезке производные, включая k-ю, может быть разложена в ряд Тейлора:

Используя свойства распределенных разностей запишем интерполяционный многочлен Ньютона с распределенными разностями:

ВОПРОС №11. Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперёд.

Приближение функций. Постановка задачи. (ВОПРОС №9)

Многочлен Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперёд.

В рассмотренных выше методах не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполяции. Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, то есть x_i - x_i-1 = const = h, i=2n. h - называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах x_i : y_i = f(x_i ). Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле x_i:

Используя конечные разности можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде:

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть N(x_i) = y_i(i = 0,n). Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты a_i :

Таким образом для любого k-го коэффициента формула примет вид:

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона получим его следующий вид:

Конечные разности рассчитываются по приведенным выше формулам.

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную

В этом случае:

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде:

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y = f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n]. Однако, более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученной формуле) ограничиться случаем t < 1, то есть использовать эту формулу для x₀, x, x₁. Для других случаев вместо x₀ принять x_i, если x_i x x_i+1 при i = 0,n-1. В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде:

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед.

Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности

вычисляются через значения функции y_i, y_i+1, ... , y_i+k, причем i + k < n. Из-за этого при больших значениях i мы не можем вычислить разности высших порядков (k < n-i).