Метод релаксации.

Имеем систему: Преобразуем ее к виду: Зададим начальное приближение: x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾)

и подставим в полученную систему. Получаем невязки (отклонения).

Если одной из неизвестных x_s⁽⁰⁾ задать приращение  x_s⁽⁰⁾, то соответствующая невязка уменьшится на эту величину, а все остальные невязки R_i⁽⁰⁾(iS) увеличатся на величину b_is x_s⁽⁰⁾.то есть, чтобы обратить очередную невязку R_s⁽¹⁾ в нуль, необходимо величине x_s⁽⁰⁾ дать приращение  x_s⁽⁰⁾= R_s⁽⁰⁾ и получим R_s⁽¹⁾=0 и R_i⁽¹⁾= R_i⁽⁰⁾ + b_is x_s⁽⁰⁾.

Таким образом, идея метода состоит в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.

Будем считать функции f_i(x), входящие в систему (1) непрерывно дифференцируемыми в некоторой окресности решения x¯. Введем для системы функций f₁,f₂,...,f_n матрицу Якоби

(3)

Метод простой итерации.

Преобразуем систему (1) к эквивалентному виду:

(4)

Зададим начальное приближение x⁽⁰⁾= (x1⁽⁰⁾,x2⁽⁰⁾,...,xn⁽⁰⁾. Подставляя его в правую часть системы (4) получим первое приближение к решению. Повторяя этот процесс решения системы (1). Очередное приближение x^(k+1)вычисляется по формулам

Если ввести в рассмотрение векторную функцию  =(₁,₂, ...,_n), то итерационный процесс можно записать кратко

x^(k+1)=(x^(k)). (5)

По аналогии с МПИ для решения одного нелинейного уравнения рассмотрим условия работоспособности МПИ для СНУ.

Сходимость метода.

Пусть '(x) - матрица Якоби, отвечающая вектор - функции (x).

Теорема. Пусть в некоторой  - окрестности решения x¯ функции _i(x) (i=1,n¯) дифференцируемы и выполнено неравенство

||'(x)||g, где 0g<1 (const).

Тогда независимо от выбора начального приближения x⁽⁰⁾ из указанной -окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива следующая оценка погрешности:

На практике часто используется следующая оценка окончания итерационного процесса:

||x⁽ⁿ⁾-x^(n-1)|| ₁

Метод Ньютона для решения СНУ.

Обобщим метод Ньютона для решения одного НУ на решение системы НУ (1).

Предположим, что исходя из начального приближения x⁽⁰⁾ к решению x¯ построены приближения x⁽¹⁾, x⁽²⁾,...,x⁽ⁿ⁾.Заменим в системе (1) каждую функцию f_i (i=1,n¯)линейной частью ее разложения по формуле Тейлора в точке x⁽ⁿ⁾:

В результате данного преобразования перейдем к СЛАУ

имеющей в матричной форме следующий вид:

где f - матрица Якоби.

Предположим, что матрица Якоби невырожденная, то есть существует обратная матрица

Тогда система (6) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение x^(k+1) к решению x, то есть приближение x^(k+1) удовлетворяет равенству

выразив из полученного равенства x^(k+1), получим формулу метода Ньютона:

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij.

M_ij - минор элемента a_ij , то есть определитель порядка n - 1, получающийся из A вычеркиванием i - ой строки и j - го столбца.

Сходимость метода.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения x системы (1) функции f₀(i=1,n) дважды непрерывно дифференцируема и матрица f (x) невырождена. Тогда найдется такая малая ... -окрестность решения x, что при произвольном выборе начального приближения x⁽⁰⁾ из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:

метод сходится с квадратичной скоростью.

Критерий окончания процесса.

ВОПРОС №9. Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Понятие точной и интерполяционной аппроксимации. Интерпретационный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности.

Приближение функций. Постановка задачи. Если величина y является функцией аргумента x, то любому значению x из области определения y будет поставлено в соответствие значение y. Однако, на практике часто неизвестна явная зависимость y от x, то есть ее невозможно записать в виде y = f(x). Бывают случаи, когда затруднительно использовать даже известную зависимость f(x).

Наиболее распространенным случаем, когда вид связи между параметрами y и x неизвестен, является задание этой зависимости в виде таблицы {x_i,y_i}. В этом случае дискретному множеству значений аргумента соответствует множество значений функции {y_i}, i = 1,n. Эти значения получены либо в результате расчетов, либо в результате экспериментов.

Нам могут потребоваться значения функции y и в других точках, = x_i. Однако получить их можно лишь путем сложных расчетов или дорогостоящих экспериментов

Таким образом, мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления значения y при любом значении параметра x, так как точная связь y = f(x) неизвестна.

Этой цели служит задача аппроксимации функции: функцию f(x) требуется приближенно заменить некоторой функцией ...(x) так, чтобы отклонение ...(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция ...(x) при этом называется аппроксимирующей.

Для практики весьма важен случай аппроксимации функции многочленом:

В дальнейшем будем рассматривать только такую аппроксимацию. При этом коэффициенты a_i будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {x_i}, то аппроксимация называется точечной. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной (интегральной).

Точечная аппроксимация.

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполяция. Она состоит в следующем: для заданной функции y = f(x) строится многочлен, принимающий в заданных точках x_i те же значения y_i, что и функция f(x), то есть

При этом предполагается, что среди значений x_i нет одинаковых, то есть x_i = x_j при i = j. Точки x_i называются узлами интерполяции, а многочлен ...(x) - интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента x_i . Коэффициенты a_j многочлена находятся из системы уравнений y_i=...(x_i, i = 1,n). При x_i = x_j ( i = j ) эта система имеет единственное решение.

Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, то есть при x₀ < x < x_n.

Однако, иногда они используются для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка Этот вид аппроксимации называют экстраполяцией.

Как видно, при интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако, в ряде случаев, выполнить данное условие затруднительно или нецелесообразно.

Например, при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена. Кроме того, исходные данные могут содержать ошибку. Построение аппроксимирующего многочлена, с условием обязательного прохождения его графика через узлы интерполяции, означает повторение имеющейся ошибки. Выходом является исполнение аппроксимальной зависимости, график которой проходит "близко" от узлов интерполяции.