Лекція №3. Основи булевої алгебри

ПЛАН:

1. Логічні основи комп'ютерної схемотехніки.

2. Аксіоми алгебри логіки

3. Мінімізація логічних елементів

4. Базові логічні елементи (комбінаційні схеми)

5. Реалізація логічних функцій із використанням комбінаційних схем

Література:

1. Прикладная теория цифровых автоматов / Самофалов К.Г., Романкевич А.М. и др. – Київ: Вища школа, 1987. – 369 с.

2. Бабич М. П., Жуков І. А. Комп’ютерна схемотехніка: Навчальний посібник. – К.: “МП-Прес”, 2004. – 412 с., іл.

1. Логічні основи комп'ютерної схемотехніки

Теоретичною основою комп'ютерної схемотехніки є алгебра логіки — наука, яка використовує математичні методи для розв'язання логічних задач. Алгебру логіки називають булевою на честь англійського математика Дж. Буля, який вніс найбільший вклад у розвиток цієї науки.

Основним предметом булевої алгебри є висловлювання — просте твердження, про яке можна стверджувати: істинне воно (позначають символом 1) або хибне (по­значають символом 0). Зазвичай прості висловлювання позначають буквами, напри­клад, Х\, Х₂, ..., Х,„ які у комп'ютерній схемотехніці називають змінними (аргумента­ми). За допомогою логічних зв'язок НЕ, ЧИ, І, ЯКЩО... ТО... будують складні висло­влювання, які називають мулевими (логічними) функціями і позначають буквами F, L, К, М, Р та ін.

Використання апарата алгебри логіки в комп'ютерній схемотехніці засноване на тому, що цифрові елементи характеризуються двома станами і через це можуть бути описані булевими функціями. Стандарт ДСТУ 2533-94 "Арифметичні і логічні операції. Терміни і визначення" конкретизував основні поняття булевої алгебри в системах оброблення інформації.

Змінну із скінченним числом значень (станів) називають перемикальною, а з двома значеннями — булевою. Функція, яка має як і кожна її змінна скінченне число значень, називається перемикальною (логічною). Логічна функція, число можливих значень якої і кожної її незалежної змінної дорівнює двом, є булевою. Таким чином, булева функція_:— це окремий випадок перемикальної.

Операція — це чітко визначена дія над одним або декількома операндами, яка створює новий об'єкт (результат). У булевій операції операнди і результат набувають "булевого значення 1" (далі просто значення 1) і "булевого значення 0" (далі просто значення 0). Булеву операцію над одним операндом називають одномісною, над двома — двомісною і т.д.

Булеві функції можуть залежати від однієї, двох і в цілому від п змінних. Запис означає, що деяка булева функція F залежить від змінних Х₁,Х₂, …, Х_n. Основними булевими операціями є заперечення (операція НЕ, інверсія), диз'юнкція (операція ЧИ, логічне додавання, об'єднання) і кон'юнкція (операція І, логічне множення).

Заперечення — це одномісна булева операція (читається «не X»), ре­зультатом якої є значення, протилежне значенню операнда.

Диз'юнкція — це булева операція (читається «X₁ чи Х₂»), результа­том якої є значення нуль тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають значення нуль.

Кон'юнкція — це булева операція (читається "Х₁ і Х₂"), результатом якої є значення одиниця тоді і тільки тоді, коли значення кожного операнда дорівнює одиниці. У виразі крапку можна опускати; часто застосовують записи або .

Операції заперечення, диз'юнкції і кон'юнкції можна задати за допомогою таблиць істинності, у яких зліва подані значення операндів, а справа — значення булевої функції.

Логічні функції двох змінних

Функція	х1х2				Примітки
	00	01	10	11
f1	0	0	0	0	константа нуля
f2	0	0	0	1	– кон’юнкція
f3	0	0	1	0	– заборона х2
f4	0	0	1	1
f5	0	1	0	0	– заборона х1
f6	0	1	0	1
f7	0	1	1	0	– сума по модулю два
f8	0	1	1	1	– диз’юнкція
f9	1	0	0	0	– функція Пірса
f10	1	0	0	1	– рівнозначність (еквіваленція)
f11	1	0	1	0
f12	1	0	1	1	– імплікація від х2 до х1
f13	1	1	0	0
f14	1	1	0	1	– імплікація від х1 до х2
f15	1	1	1	0	– функція Шеффера
f16	1	1	1	1	константа одиниці