Граничные условия
1. В случае, когда край пластинки защемлен (рис.11) прогиб по этому краю равен нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает на нем с начальным положением срединной плоскости пластинки (угол поворота равен нулю). Тогда граничные условия имеют вид
Рис.
11
.
(46)
2. Если край пластинки свободно оперт (рис.12), то его прогиб должен быть равен нулю. В то же время этот край может свободно поворачиваться относительно оси х; это значит, что изгибающие моменты обращаются на нем в нуль
Рис.12
.
(47)
Также наряду с этим
обращается в нуль
,
поэтому уравнения (47) можно считать
эквивалентным уравнениям
,
(48)
не содержащим коэффициента Пуассона
3. В том случае, край пластинки совершенно свободен (рис.13), то естественно принять, что поэтому краю нет ни изгибающих или крутящих моменнтов, ни вертикальных перерезывающих сил
Рис.13
,
,
(49)
.
В этой форме граничные
условия для свободного края были выражены
Пуассоном. Позднее Кирхгофф доказал,
что трех условий слишком много и что
для полного определения удовлетворяющих
дифференциальному уравнению С. Жермен
прогибов достаточно двух условий. На
этом основании объединенное требование
относительно крутящего момента
и перерезывающей силы
для свободного края принимает вид
(50)
подставив сюда
вместо
и
их выражения (20) и (17), получаем окончательно
для свободного края
:
.
(51)
Условие, чтобы изгибающие моменты на свободном крае были равны нулю, требует
.
(52)
Уравнения (51) и (52) представляют собой два необходимых граничных условия для свободного края пластинки.
.
Применение энергетических методов к расчету пластин.
Примеры решения задач
В тех случаях, когда точное решение задач по определению напряжений и деформаций в пластинках невозможно, прибегают к приближенным методам.
Одними из них являются вариационные, они дают приближенное аналитическое выражение для искомой функции.
Это – метод Ритца, метод Галеркина, метод Треффца, метод Канторовича.
Вариационные методы базируются на экспериментальных свойствах потенциальной энергии.
Определение: Потенциальной энергией упругой системы называется та работа, которую совершают как внутренние, так и внешние силы системы, при переводе её из деформированного состояния в начальное состояние - недеформированное.
Э = U + V
Э – полная энергия системы; U – потенциальная энергия внутренних сил, линейно зависящих от деформации. Всегда положительна и вычисляется как половина произведения сил на соответствующие перемещения; V – потенциальная энергия внешних сил.
Потенциальная энергия работы внешних сил всегда отрицательна и определяется как полная величина произведения силы на путь:
V = –Aн
где Ан – работа внешних сил.
Потенциальная энергия действительного состояния системы имеет экстремальное значение, математически это можно записать следующим образом:
δЭ = 0
Потенциальная энергия в состоянии равновесия минимальна, т.е.:
δ2 Э > 0
Для решения согласно методу Ритца, необходимо найти такую функции прогиба ω(x), которая будет сообщать минимум функционалу
,
Если задать функцию ω(x) в виде ряда
,
где
–
неопределенные параметры;
– подходящие функции, удовлетворяющие
граничным условиям задачи
и подставить её в функционал J, мы получим функцию от неизвестных параметров .
После определения производных
из системы n
уравнений находим определяющие
коэффициенты
.
Потенциальная энергия пластинки
Потенциальная
энергия пластинки
,
в общем случае, выражается через
перемещения:
(1)
где ω(x,y) – функция прогибов. Основная задача расчетов пластин – определение прогибов, т.к. по известным прогибам можно рассчитать напряжения в пластине и возникающие моменты.
Наиболее удобной формой выражения функции ω(x,y) – аппроксимирующей функции, является представление функции в виде ряда:
где
- удовлетворяющие граничным условиям
функции, т.е. геометрическим условиям
задачи.
Пример
Рассмотрим изгиб свободно опертой прямоугольной пластинки, нагруженной равномерно распределенной по поверхности нагрузкой p = const.
З
адача:
Выберем функцию прогибов, удовлетворяющую граничным условиям в виде тригонометрического ряда, ограничимся первым членом ряда
Найти
Определить вид прогибов и их максимальные значения
Решение
Функция удовлетворяет граничным условиям свободного закрепления пластинки:
а) Прогибы в местах закрепления равны нулю:
б) Изгибающие моменты на краях закрепления равны нулю:
В уравнении (1), D – цилиндрическая жесткость пластинки:
,
где Е – модуль упругости; μ – коэффициент Пуассона; h – толщина пластинки;
Находим производные:
Подставляем в уравнение (1), получаем:
(2)
Интегрируем выражение (2) с учетом:
Получим:
;
Находим параметр а1 из условия, что:
Получим:
,
Тогда:
очевидно, что
максимальные прогибы будут в центре
пластинки (
),
тогда
.
рис. 1
=================================================
Указания:
В решении необходимо учитывать:
