10. Операторы квантовой механики. Спектр операторов. Операторы важнейших физических величин.

Оператор – это математическое правило, преобразующее одну функцию в другую. Такое преобразование может быть умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др. В квантовой механике каждой физической величине Q сопоставляется линейный оператор .

Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условию:

(1)

Любой оператор удовлетворяет уравнению

. (2)

Значения параметра q, отвечающие уравнению (2) называются собственными значениями оператора . Совокупность собственных значений q называется спектром оператора. Если спектр состоит из дискретных значений, то он называется дискретным. Если совокупность собственных значений образует непрерывную последовательность, то спектр называют непрерывным. Функции, удовлетворяющие уравнению (2), называются собственными функциями оператора . Может случиться, что одному собственному значению q в уравнении (2) отвечает несколько различных собственных функций Ψ. Тогда говорят, что собственное значение q вырождено, а число различных собственных функций называют кратностью вырождения.

В квантовой механике постулируется, что в результате измерения физической величины Q может получиться лишь одно из собственных значений оператора , удовлетворяющих уравнению (2).

В квантовой механике вводятся следующие операторы физических величин.

Оператором пространственной координаты частицы является умножение на .В символической операторной форме записи этих операций имеют вид:

. (3)

Объединяя эти формулы, введем векторный оператор .

Компоненты оператора импульса записываются в виде:

(4)

Векторный оператор импульса имеет вид:

.

В классической механике кинетическая энергия связана с квадратом импульса соотношением:

.

Учитывая (4), запишем оператор кинетической энергии в квантовой механике:

. (5)

Так как потенциальная энергия частицы в стационарном силовом поле зависит только от координат, то оператор потенциальной энергии совпадает с функцией

. (6)

Оператор полной энергии определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий: . (7)

Оператор полной энергии называют гамильтонианом. Гамильтониан является основным оператором квантовой механики.

Оператор момента импульса получается из классического выражения

(8)

заменой составляющих импульса на соответствующие операторы.

.(9)

Физические величины являются вещественными, поэтому в кантовой механике они должны описываться операторами, собственные значения которых вещественные. Такому условию удовлетворяют эрмитовы операторы.

Самосопряженным (эрмитовым) оператором называется оператор, удовлетворяющий условию .

11. Возможные значения наблюдаемых и их вероятность. Средние значения наблюдаемых. Квантовомеханический принцип суперпозиции.

В основе квантовой механики лежат несколько постулатов, которые были сформулированы в работах М. Борна, П. Дирака и др.

Один из постулатов утверждает, что квантовому состоянию системы можно сопоставить некоторую Ψ-функцию, которая полностью определяет данное состояние.

В соответствии со следующим постулатом квантовой механики каждой физической величине Q сопоставляется линейный оператор .

Любой оператор удовлетворяет уравнению

. (1)

Значения параметра q, отвечающие уравнению (1) называются собственными значениями оператора . Функции, удовлетворяющие уравнению (1), называются собственными функциями оператора .

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции оператора можно пронумеровать:q₁, q₂, q₃, … q_k, Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃, … Ψ_k. Тогда уравнению (1) отвечает набор уравнений

, m=1,…k. (2)

В квантовой механике предполагается, что совокупность собственных функций Ψ_m образует полный набор, т.е. любую непрерывную функцию Ψ можно представить в виде

(3)

В соответствии с остальными постулатами квантовой механики в результате измерения физической величины Q может получиться лишь одно из собственных значений q_m оператора , удовлетворяющих уравнению (2) и вероятность обнаружить значение q_m равна .

Для коэффициентов с_m должно выполняться условие нормировки

и эти коэффициенты определяются как скалярное произведение функций _m и : (4),

причем (5)

Найдем среднее значение наблюдаемой величины, то есть математическое ожидание результатов измерений, используя постулаты квантовой механики и соотношения (4), (5), (2):

=

.

Итак, мы получили формулу для расчета среднего значения физической величины Q в квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией Ψ:

(6)

Сформулируем одно из важных свойств квантовых состояний, которое называется квантово-механическим принципом суперпозиции: если частица может находиться в квантовых состояниях, которые описываются волновыми функциями Ψ₁, Ψ₂,…, _N то эта частица может также находиться в состоянии, описываемом волновой функцией

(7)

где С₁ и С₂ , C_N в общем случае комплексные числа.

Функции Ψ₁, Ψ₂,…_N являются функциями чистых состояний, Ψ – волновая функция смешанного состояния.

Отметим, что если в состоянии Ψ₁ частица, например, имела импульс р₁, а в состоянии Ψ₂ – импульс р₂, …, в состоянии Ψ_N – импульс р_N, то в смешанном состоянии  при измерении импульса мы получим либо значение р₁ либо р₂, …, либо p_N.

Возможность состояний, в которых данная физическая величина не имеет определенного значения, и которые получаются суперпозицией состояний, с определенным значением этой величины, является характерной чертой квантовой механики, принципиально отличающей ее от классической механики. Описать такое "смешанное" состояние одной частицы на языке классической механики невозможно. Это свойство смешанных состояний сейчас используют в современных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, так как возможно использование логического элемента не только с двумя состояниями "0" и "1", но и элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.