Аффінний і метричний сенс барицентричних координат в просторі

З геометричної точки зору нормовані барицентричні координати _i точки Р дорівнюють стосункам об'ємів двох орієнтованих тетраедрів: об'єму тетраедра, отриманого шляхом заміни відповідної вершини тетраедра А1А2А3А4 точкою Р, до об'єму тетраедра А1А2А3А4:

, , , . (1.5)

Нехай di – орієнтовані відстані точки Р до граней даного тетраедра, причому за позитивний напрям прийнятий напрям відповідної висоти hi тетраедра А1А2А3А4 від вершини до протилежної грані. Тоді стосунки об'ємів вказаних тетраедрів, очевидно рівні (i=1,2,3,4), таким чином

, (1.6)

одже,

. (1.7)

1.3 Основні класичні теореми про чудові точки косого чотирикутника Теорема Лейбніца.

Сума квадратів відстаней довільної точки Р до вершин косого чотирикутника (тетраедра) А1А2А3А4 дорівнює сумі квадратів відстаней його центроїда G до вершин, складеної із збільшеним учетверо квадратом відстані точки Р до центроїда G (мал. 1.4).

. (1.8)

Рисунок 1.4

Доведення:

Нехай А1А2А3А4- косий чотирикутник, G- його центроїд і Р- довільна крапка (ріс.1.4). Розглянемо трикутники A₁PG, A₂PG, A₃PG, A₄PG. Враховуючи, що

, , ,

та

, ,

, ,

отримаємо:

Але , що безпосередньо виходить з (1.1) за умови, якщо полюс поміщений в точку G. Отже, рівність (1.8) доведена.

Теорема Менелая. Нехай на прямих А1А2, А2А3, А3А4, А4А3 що визначають косий чотирикутник А1А2А3А4 дани відповідно точки P12,Р23,Р34,Р41. Для того, щоб ці крапки лежали в одній плоскості, необхідно і досить, щоб:

. (1.9)

Доведення:

Для доказу вказані стосунки позначимо

, , ,

Тоді необхідно довести, що ₁₂₃₄=1.

,

.

Аналогічно для ₂,_3,,₄. тоді:

. (1.10)

(i=1,2,3,4; j=i+1, если i=1,2,3, и j=1,если i=4).

Із (1.2)

Отже матриця нормованих барицентричних координат точок Pij відносно тетраедра А1А2А3А4 матиме вигляд:

За допомогою елементарних перетворень рядків матриця може бути приведена до

Оскільки елементарні перетворення не змінюють рангу матриці, то ранги матриць і однакові. Очевидно, ранг матриці не нижче три. Для того, що б він був рівний трьом, необхідно і досить, що б =1 При цьому і лише за цієї умови точки Pij лежатимуть в одній плоскості.

Теорема Чеви. Хай на прямих A1a2, А2А3, А3А4, А4А1, що визначають косий чотирикутник А1А2А3А4, дани точки Р12,Р23,Р34, Р41. Для того, щоб площина Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 перетиналися в одній точці Р, необхідно і досить, щоб

( 1.11)

Рисунок 1.5

Доведення:

Необхідність. Нехай А1А2А3А4- косий чотирикутник, прямі РА1, РА2,РА3,РА4 перетинають площину А2А3А4, А3А4А1, А4А1А2, А1А2А3 в точках Р1,Р2,Р3,Р4 (мал. 1.5) . За теоремою Чеви1) для трикутника А1А2А3 і точки Р4 маємо

.

­­­­­­­­­За тією ж теоремою для трикутника А₃А₄А₁ и точки Р₂:

.

Перемножимо цю рівність

,

___________________

⁾ Теорема Чеви для трикутника А1А2А3. Хай на прямих АВ, ВС, СА, що визначають трикутник АВС, дани точки С1, А1, В1. Для того, щоб прямі АА1, ВВ1, СС1 перетиналися в одній точціО або були паралельними, необхідно і досить, щоб .

.

Отримали доводжуване співвідношення (1.11).

Достатність. Хай рівність (1.11) виконується . Тоді по теоремі Менелая для косого чотирикутника А1А2А3А4, точки Р12,Р23,Р34, Р41 лежать в одній плоскості. Це означає, що прямі Р12Р34 і Р23Р41 перетинаються в деякій точці Р. Отже, площина А1Р23А4, Р12А3А4, А1А2Р34, А2А3Р41 проходять через точку Р.

Слідство. якщо точки Р12,Р23,Р34, Р41, взяті на прямих A1a2, А2А3, А3А4, А4А1, лежать в одній площині, то площини Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 перетинаються в одній точці, і навпаки.

Теорема Гауса. Хай площина, що не проходить через вершини косого чотирикутника А1А2А3А4, перетинає його сторони відповідно в точках Р12,Р23,Р34, Р41. Тоді центроїди трикутників Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 належать одній площині.

Рисунок 1.6

Доведення:

Нехай А1А2А3А4- косий чотирикутник. Позначимо центроїди трикутників Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 через Gij (відповідно точкам Pij), а відношення (ріс.1.6). Домовимося радіус-вектори точок позначати однією буквою. Тоді радіус-вектори точок Gij визначаються

, ,

, .

Використовуючи (1.10), маємо

.

Тоді

, ,

,

.

Матриця нормованих барицентричних координат точок Gij відносно тетраедра А1А2А3А4 (після скорочення на 1/3) має вигляд:

Для знаходження рангу цієї матриці, після перетворень її стовпців приходимо до матриці вигляду

.

Ця матриця схожа з матрицею ( з доведення теореми Менелая) і тим же чином, що і приводиться до вигляду . Але оскільки точки Рij лежать по умові в одній площині, то по теоремі Менелая =1 і тому ранг нашої матриці рівний трьом, що і доводить теорему.