Косий чотирикутник і його чудові точки

1.1 Косий чотирикутник. Елементи косого чотирикутника і їх властивості.

Просторовим невиродженим або косим чотирикутником називатимемо чотирикутник, вершини якого не належать одній площині.

Чотирикутник, усі вершини якого належать одній площині називатимемо виродженим косим чотирикутником.

Якщо A1A2A3A4 - косий чотирикутник(мал. 1.1), то відрізки А1А2, А2А3, А3А4, А4А1 називають його сторонами, а площини, визначувані кожними трьома вершинами, його гранями.

Теорема. Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін і середини діагоналей косого чотирикутника, перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл

Рисунок 1.1

Доведення:

Нехай A1A2A3A4 - косий чотирикутник, М, Е, F, N - середини його сторін, точка Про - довільна точка простору(рис 1.1). Тоді

, ,

, .

Нехай G₁, G₂-середины МЕ, FN відповідно. Тоді

,

.

Звідси слідує .

Нехай G₃ –середина діагоналі LQ. Враховуючи, що

, , ,

отримуємо

.

Видно що

,

Звідси слідує

,

тобто

. (1.1)

Точку G називатимемо центроїдом косого чотирикутника.

Усі міркування залишаться вірними, якщо косий чотирикутник вироджується в плоский.

Теорема. Сума квадратів відстаней від точки до вершин косого чотирикутника(тетраедра) найменша для його центроїда.

Рисунок 1.2

Доведення:

Нехай A1A2A3A4 - косий чотирикутник. Введемо прямокутну де-картову систему координат, як вказано на малюнку 1.2. Тоді

A1(х1, 0,0), A2(х2, y2, 0), A3(х3, y3, 0), A4(0,0, z4).

Точка Р(х, y, z) - довільна точка простору.

Складемо функцію для трьох змінних: .

Знайдемо її мінімум. Для цього вирішимо систему:

.

.

Точка Р має координати ( , , ). Легко показати, що в точці Р функція має min.

Тепер знайдемо координати центроїда при такому розташуванні системи координат :

.

Отримали,що P=G, що і доводить теорему.

Медіанами косого чотирикутника називатимемо відрізки, що сполучають його вершини з центрами трикутників протилежних граней.

Теорема(про перетин "медіан").Медіани косого чотирикутника перетинаються в його центроїді і діляться в нім відносно 3: 1, вважаючи від вершини.

Рисунок 1.3

Доведення:

Нехай A1A2A3A4 - косий чотирикутник, G, A1G1, А2G2, А3G3, A4G4 -его центроїд і медіани відповідно(рис 1.3).

З(1.1) .

З трикутників А₂А₃А₄ , А₁GO, А₁G₁O

, , .

Тоді маємо:

Тобто точка G ділить відносно 3: 1, вважаючи від вершини.

Аналогічно доводиться для, , , , . Таким чином ме-дианы косого чотирикутника перетинаються в його центроїді і діляться в ньому відносно 3: 1, вважаючи від вершини.

1.2 Барицентричні координати точок простору

Якщо полюс вибрати поза тривимірним простором чотирикутника А1А2А3А4, то радіус-вектор будь-якої точки Р цього простору через радіус-вектори вершин даного косого чотирикутника виражаєтся так

. (1.2)

Насправді, вектори лінійно незалежні і тому по ним однозначним чином розкладається вектор . Проте чотири вектори в тривимірному просторі завжди лінійно залежні і тому:

. (1.3)

причому не всі рівні нулю одночасно. Але:

, , , .

Отже, користуючись рівністю (1.2), отримуємо:

,

,

,

.

Якщо ці чотири вектори (i=1,2,3,4) підставити в (1.3.), то отримаємо рівняння

відносно (к=1,2,3,4) яке може бути задоволене лише тоді, коли всі коефіцієнти при рівні 0, або вектори лінійно незалежні. Це приводить до системи чотирьох лінійних однорідних рівнянь відносно . Збираємо коефіцієнти при :

_{Оскільки лінійно незалежні, то коефіцієнти при них повинні дорівнювати 0. Приходимо до системи рівнянь}

Дана система відносно (i=1,2,3,4) має ненульове рішення, якщо її визначник дорівнює 0, тобто

Розкриваючи визначника, отримуємо

Отже, кожній точці Р простору чотирикутника А1А2А3А4 відповідають чотири числа ?1,?2,?3,?4, сума яких дорівнює 1. Ці числа називаються нормованими барицентричними координатами точки Р відносно косого чотирикутника А1А2А3А4 .

Покажемо, що числа _i не залежать від вибору полюса О. Для цього візьмемо іншу точку О1 і, доведемо, що :

, (1.4)

де _i - барицентричні координати точки Р, визначені вище за допомогою косого чотирикутника А1А2А3А4 і точки О, тобто

Дійсно:

тому

.

Таким чином, незалежність барицентричних координат _i від выбору точки доведена.