Рекомендуемая литература
[1] глава 8 п. 8.6., п. 8.9.
[2] глава VII § 1.
[3] глава 6 § 25.
[4] часть II занятия 30, 36.
[5] глава 2 § 2.3.
[6] глава 6 §§ 1-3.
[7] глава VI §§ 1-3.
[8] глава 5 §§ 13-14.
Примеры решения типовых задач
Составьте уравнения касательной и нормали к параболе
в точке
Решение. Так
как надо составить уравнения касательной
и нормали в точке
,
то
Тогда уравнение
касательной в точке
будет иметь вид:
или
А уравнение
нормали:
или
.
С помощью правила Лопиталя найдите пределы:
а)
б)
в)
г)
Решение. а)
В данном пределе имеем неопределенность
вида
.
По правилу Лопиталя заменим отношение
этих величин отношением их производных:
Замечание.
Аналогично
можно раскрыть неопределенность вида
б) В данном пределе
имеем неопределенность
.
Сведем эту неопределенность к виду
,
а затем применим правило Лопиталя:
в) В данном пределе
имеем неопределенность вида
Преобразуем функцию к виду дроби,
числитель и знаменатель которой
одновременно стремятся к нулю или к
бесконечности, затем применим правило
Лопиталя:
г) В данном пределе
имеем неопределенность вида
.
Заметим сразу, что таким образом можно
раскрыть неопределенности вида
и
.
Эти случаи нахождения предела функции
сводятся к случаю
(а затем к случаю
и
)
следующим путем: функция логарифмируется
и сначала находится предел ее логарифма,
а затем по найденному пределу логарифма
находится и предел самой функции. Таким
образом, пусть
.
Логарифмируем функцию и находим предел ее логарифма:
Здесь нахождение
предела свелось к случаю
.
Применяя правило Лопиталя, получим:
Неопределенность
осталась. Применим правило Лопиталя
2-й раз:
Теперь по найденному
пределу логарифма функции находим
искомый предел самой функции:
Таким образом:
Разложите многочлен
по степеням
по формуле Тейлора.
Решение. Найдем
значение многочлена и его производных
при
и все последующие
производные равны 0. Тогда для разложения
многочлена по степеням
по формуле Тейлора имеем:
т.е.
Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
Сформулируйте геометрический смысл производной функции.
Выведите уравнение касательной к кривой
в точке
.Какая прямая называется нормалью к кривой? Какой вид имеет уравнение нормали?
Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
при вычислении пределов функции.Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
при вычислении пределов функции.Сколько раз подряд можно применять правило Лопиталя и когда это правило неприменимо?
Как можно раскрыть неопределенность вида при вычислении предела функции?
Что нужно сделать при вычислении предела функции, если он содержит неопределенность вида ?
Какой прием применяют для применения правил Лопиталя, если предел функции содержит неопределенность вида , или , или ?
Расскажите о формуле Тейлора и формуле Маклорена. Для чего эти формулы могут использоваться?
Разложите по формуле Тейлора (Маклорена) функции
,
,
.