5.3 Проверка решения на оптимальность

Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: опорный план будет являться оптимальным, если существуют система m+n действительных чисел u_i и v_i, называемых потенциалами, удовлетворяющая условиям:

u_i+v_j=c_ij для занятых клеток, где x_ij>0

u_i+v_j≤c_ij для свободных клеток, где x_ij=0

при решении задачи на минимум.

Введём обозначение оценки свободной клетки таблицы

_ij=c_ij – (u_i +v_j)

Теорема. Если среди оценок _ij нет отрицательных, то опорный план является оптимальным и все свободные клетки потенциальны.

Замечание. Потенциалы u_i и v_j могут быть рассчитаны только для невырожденного плана. ( План называется невырожденным, если число занятых клеток в таблице равно m + n – 1, в противном случае план – вырожденный). Для вырожденного плана вносим 0 в одну из свободных клеток таблицы так, чтобы общее число занятых клеток стало равным m + n – 1. Этот 0 вводят в клетку с наилучшим тарифом одного из одновременно вычеркиваемых рядов таблицы. При этом фиктивно занятая 0 клетка не должна образовывать замкнутого контура с другими клетками таблицы.

5.4 Переход от одного опорного решения к другому.

Если среди оценок Δ_ij есть отрицательные, то план не оптимален и его улучшают методом перераспределения поставок по циклу. Отметим клетку с «наихудшей» оценкой и построим цикл с начальной вершиной в этой клетке.

Определение. Циклом с начальной вершиной в данной клетке называется замкнутая ломаная, для которой выполняются условия:

1. все её вершины, кроме начальной, расположены в занятых клетках;

2. звенья ломаной расположены в строчках и столбцах таблицы;

3. в каждой вершине звенья соединяются под прямым углом;

4. звенья цикла могут проходить через занятые клетки, которые не являются вершинами цикла;

5. два звена могут пересекаться в какой-либо клетке, но эта клетка должны быть не занятой (иначе она является вершиной)

Циклы могут иметь вид:

Начальную клетку цикла отмечаем знаком «+» и последовательно чередуем знаки «–» и «+» по всему циклу. Из объёмов груза, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее и обозначим его α. Перераспределим величину α по циклу в соответствии с поставленными знаками «+» и «–». После такой «перезагрузки» составляем новый план. Значение целевой функции при этом должно уменьшиться. Новый план проверяется на оптимальность и так продолжается до тех пор, пока среди оценок Δ_ij не останется отрицательных.

5. Пример решения транспортной задачи.

Задача. Поставщик товара – оптовые коммерческие предприятия А₁, А₂, А₃, А₄ имеют запасы товаров а₁=280, а₂=350, а₃=415, а₄=255 единиц и розничные торговые предприятия В₁, В₂, В₃ – подали заявки на закупку товара в объемах b₁=620, b₂=490, b₃=150 единиц.

Т арифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов поставки в соответствующие пункты потребления заданы матрицей перевозок:

4 17 7

C= 14 20 8

18 5 4

3 2 11

Найти такой план перевозки груза от поставщиков к потребителю, чтобы совокупные затраты на перевозку были минимальными.

Решение.

1) Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

^{280 + 350 + 415 + 255 = 1300}

630+490+150 = 1260

> , следовательно, модель исходной

транспортной задачи является открытой.

Чтобы получить закрытую модель, введем фиктивного потребите­ля В4 с заявкой на Ь₄=40 единиц товара. Тарифы перевозки для В4 по­лагаем равными нулю. Занесем данные в таблицу 16.

Табл. 16

bj ai	620	490	150	40
280	4	17	7	0
350	14	20	8	0
415	18	5	4	0
255	3	2	11	0

2) Используя метод «северо-западного угла» построим первый опорный план.

Табл. 17

bj ai	620	490	150	40
280	2804	-17	-7	-0
350	34014	1020	-8	-0
415	-18	4155	-4	-0
255	2553	652	15011	400

Число занятых клеток - 7, а должно быть т+п-1=4+4-1=7. Следо­вательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции плана ₁:

F ( )= 280∙4+340∙14+10∙20 + 415∙5+65∙2+150∙ 11 + 40∙ 0 = 9935

3) Проверим оптимальность плана ₁ для этого дополним таб­лицу 17 столбцом и строкой потенциалами.

Табл. 18

bj ai	620	490	150	40	ui
280	2804	-17	-7	-0	u1=0
350	34014	1020	-8	-0	u2=10
415	-18	4155	-4	-0	u3= - 5
255	2553	652	15011	400	u4= - 8
vj	v1=0	v2=10	v3=19	v 4=8

Найдем потенциалы по занятым клеткам u_j + u_i = c_ij и занесем в таблицу 18.

u₁+v₁=4 ] u₁=0

u₂+v₁=14 v₁=4

u₂+v₂=20 u₂=10

u₃+v₂=5 v₂=10

u₄+v₂=2 u₃=-5

u₄+v₃=11 u₄=-8

u₄+v₄=0 v₃=19

v₄=8

Оценим пустые клетки _ij=c_ij – ( u_i + v_j).

₁₂=17 – (0+10) = 7

₁₃=7 – (0+19) = - 12

₁₄=0 – (0+8) = - 8

₂₃= 8 – (10+9) = - 21

₂₄=0 - (10+8 )= - 18

₃₁=18– (-5 – 4) =19

₃₃=4 – (-5 +19) = -10

₃₄=0- (-5+8) = -3

₄₄=3 – (-8 +4) =7

Первый опорный план не является оптимальным, т.к. среди этих оце­нок есть отрицательные, поэтому переходим к улучшению плана ₁ .

4) «Худшую» оценку ₂₃= - 21 имеет клетка (2,3). Построим для нее цикл перераспределения груза.

1 0 0 0 10

+

65 150 75 140

+

В результате получим новый опорный план ₂ :

Табл. 19

bj ai	620	490	150	40	ui
280	2804	-17	-7	-0	u1=0
350	34014	-20	108	-0	u2=10
415	-18	4155	-4	-0	u3= 16
255	-3	752	14011	400	u4= 13
vj	v1=4	v2=-11	v3=-2	v 4=-13

F ( ) = 280∙4 + 340∙14 + 10∙8 + 415∙5 + 75∙2 + 140∙ll + 40∙0 = 9725

5) Проверим план ₂ на оптимальность.

Оценим занятые клетки, дополним таблицу 19.

u₁+v₁=4 ] u₁=0

u₂+v₁=14 v₁=4

u₂+v₃=8 u₂=10

u₃+v₂=5 v₃=

u₄+v₂=2 u₄=13

u₄+v₃=11 v₂= - 11

u₄+v₄=0 u₃=16

v₄= - 13

Оценим пустые клетки.

₁₂=17 – (0 - 11) = 28

₁₃=7 – (0- 2) = 9

₁₄=0 – (0- 13) = 13

₂₂= 20 – (10- 11) = 21

₂₄=0 - (10 - 13 )= 3

₃₁=18– (16 + 4) = - 2

₃₃=4 – (16 - 2) = -10

₃₄=0- (16 - 13) = -3

₄₄=3 – (13 +4) = - 14

Второй опорный план ₂ так же не является оптимальным, продолжаем его улучшать.

6) Перезагрузим «худшую» клетку (4,1).

3 40 10 200 150

+

0 140 140 0

+ −

В результате получим новый опорный план _{2 :}

Табл. 20

bj ai	620	490	150	40	ui
280	2804	-17	-7	-0	u1=0
350	20014	-20	1508	-0	u2=10
415	-18	4155	-4	-0	u3= 3
255	1403	752	-11	400	u4= - 1
vj	v1=4	v2=3	v3=-2	v 4=1

F ( ₃) =280∙4 + 200∙14 + 150∙8 + 415∙5 + 140∙3 + 75∙2 + 40∙0 = 7765

7) Проверим план ₃ на оптимальность.

Оценим занятые клетки, дополним таблицу 20.

u₁+v₁=4 ] u₁=0

u₂+v₁=14 v₁=4

u₂+v₃=8 u₂=10

u₃+v₂=5 v₃=

u₄+v₁=3 u₄= - 1

u₄+v₂=2 v₂= 3

u₄+v₄=0 u₃=3

v₄= 1

Оценим пустые клетки.

₁₂=17 – (0 +3) = 14

₁₃=7 – (0- 2) = 9

₁₄=0 – (0+1) = - 1

₂₂= 20 – (10+3) = 7

₂₄=0 - (10 +1 ) = - 11

₃₁=18– (3+ 4) = 11

₃₃=4 – (3 - 2) = 3

₃₄=0- (3 +1) = - 4

₄₄=3 – ( - 1 - 2) = 6

План ₃ не является оптимальным.

8) Перезагрузим клетку (2,4).

200 0 160 40

+

140 40 180 0

+ −

Получим новый план ₄.

Табл. 21

bj ai	620	490	150	40	ui
280	2804	-17	-7	-0	u1=0
350	16014	-20	1508	400	u2=10
415	-18	4155	-4	-0	u3= 2
255	1803	752	-11	-0	u4= - 1
vj	v1=4	v2=3	v3=-2	v 4=-10

F ( ₄) = 280∙4+160∙14 + 150∙8 + 40∙0+415∙5 + 180∙3 + 75∙2 = 7325

9) Проверим план ₄ на оптимальность.

Для занятых клеток:

u₁+v₁=4 ] u₁=0

u₂+v₁=14 v₁=4

u₂+v₃=8 u₂=10

u₂+v₄=0 v₃= -2

u₃+v₂=5 v₄= -10

u₄+v₁=3 u₄= -1

u₄+v₂=2 v₂=3

u₃= 2

Для пустых клеток:

₁₂=17 – (0 +3) = 14

₁₃=7 – (0- 2) = 9

₁₄=0 – (0 - 10) = 10

₂₂= 20 – (10+3) = 7

₃₁=18– (2+ 4) = 12

₃₃=4 – (2 - 2) = 4

₃₄=0- (2 - 10) = 8

₄₃=11- (- 1 - 2) = 14

₄₄=0– (- 1 - 10) =11

Поскольку все оценки не отрицательны, то план оптимален.

280 0 0

160 0 150

_опт.= 0 415 0

180 75 0

F_опт.( ₄) = 7325 тысяч рублей.

Анализ плана. Первому поставщику A₁ следует весь товар отпра­вить первому заказчику B₁, второй поставщик А₂ должен отправить 160 ед. товара первому заказчику B₁ и 150 ед. товара - третьему заказ­чику В₃, третий поставщик А ₃ отправит весь товар заказчику В₂, а четвертый поставщик А₄ отправит 180 ед. товара заказчику B₁ и 75 ед. товара - заказчику В₂. При этом плане 40 ед. товара второго постав­щика А₂ остается нереализованным. Общая стоимость доставки това­ра заказчикам будет минимальной и составляет 7325 тысяч рублей.

Так как среди последних оценок - все строго положительные, то данный оптимальный план является единственным.

Замечание. Алгоритм и методы решения транспортной задачи мо­гут быть использованы при решении многих экономических задач, не имеющих отношение к транспортировке грузов.

Контрольные задания.

Задание 1. Составить математическую модель задачи ЛП и решить её графическим способом.

1-10. Предприятие выпускает изделия двух видов. Для их изготовления используются три вида ресурсов. В наличии имеется b_j (j=1,2,3) ресурсов. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели a_ij ,(i=1,2; j=1,2,3). Прибыль на одно изделие c_j (j=1,2). Условия задачи можно кратко записать в виде следующей таблицы:

Наименование изделия	Нормы на одно изделие			Прибыль на одно изделие
	Рес.1	Рес.2	Рес.3
Изделие A	a11	a12	a13		c1
Изделие B	a21	a22	a23		c2
Наличие ресурсов	b1	b2	b3		-

Требуется составить план выпуска изделий A и B, обеспечивающий максимальную прибыль.

№ вар.	a11	a12	a13	a21	a22	a23	b1	b2	b3	c1	c2
1.	2,4	8,0	6,2	12,2	5,4	2,2	500	470	340	50	40
2.	10	5	1	3	8	4	150	120	30	50	30
3.	10,0	14,0	3,6	20,0	7,4	12,4	440	280	320	50	70
4.	9,2	10,0	3,0	15,0	5,0	12,0	400	300	340	20	70
5.	2	8	5	5	5	6	20	40	30	50	40
6.	10,0	14,0	3,8	22,0	7,5	14,5	450	310	360	40	75
7.	3	5	2	2	4	3	40	65	24	10	60
8.	2,6	7,6	4,0	8,2	3,8	2,1	500	720	310	40	60
9.	4	10	10	6	8	20	50	30	45	50	60
10.	2,2	8,4	4,2	8,2	4,6	2,0	500	720	300	35	50

11-20. На предприятии в процессе производства используется два технологических способа I и II. При этом расходуются сырьё, трудовые ресурсы и учитываются накладные расходы. Известны удельные затраты каждого ресурса a_ij (i=1,2; j=1,2,3), запасы ресурсов b_j (j=1,2,3) и удельная прибыль c_j (j=1,2) при использовании каждого технологического способа. Под удельными затратами и удельной прибылью понимают затраты и прибыль при единичной интенсивности соответствующего интенсивности технологического способа. Условия задачи можно кратко записать в виде таблицы:

Виды ресурсов	Технологический способ		Запасы ресурсов
	I	II
Сырьё	a11	a12	b1
Трудовые ресурсы	a21	a22	b2
Накладные расходы	a31	a32	b3
Прибыль	c1	c2	-

Требуется составить план использования технологических способов в производстве, обеспечивающий максимальную прибыль.

№ вар.	a11	a21	a31	a12	a22	a32	b1	b2	b3	c1	c2
11.	3	1	3	1	3	2	18	14	6	4	2
12.	4	2	2	2	2	1	16	12	2	1	4
13.	3	1	2	1	1	3	15	7	6	3	2
14.	3	1	1	5	1	4	25	6	4	2	4
15.	1	6	1	3	5	5	21	48	5	6	9
16.	1	1	1	1	3	2	6	12	2	3	7
17.	4	1	2	4	3	2	28	15	4	2	1
18.	1	4	3	4	1	4	20	20	12	4	2
19.	1	5	3	2	2	1	12	20	3	3	3
20.	1	5	1	3	2	1	18	25	1	1	5

Задание 2. Для реализации трёх групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b₁, b₂, b₃ за единицу. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурс первого вида в количестве a₁₁ единиц, ресурс второго вида в количестве a₂₁ единиц, ресурс третьего вида в количестве a₃₁ единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a₁₂, a₁₃ единиц, ресурсов второго вида в количестве a₂₂, a₂₃ единиц, ресурсов третьего вида в количестве a₃₂, a₃₃ единиц. Прибыль от продажи трёх групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁, c₂, c₃ (тыс. руб.). Определить плановый объём и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

№ вар.	a11	a12	a13	a21	a22	a23	a31	a32	a33	b1	b2	b3	c1	c2	c3
1.	5	8	4	5	5	6	10	2	5	400	300	200	4	3	2
2.	7	4	5	6	2	4	7	14	7	280	160	420	18	16	15
3.	3	6	4	2	1	2	2	3	1	180	50	40	6	5	5
4.	16	18	9	7	7	2	9	2	3	520	140	810	8	6	4
5.	1	1	1	2	1	3	3	2	3	160	200	240	4	3	5
6.	17	5	5	8	6	6	4	2	6	850	1120	1060	8	7	4
7.	4	8	2	3	8	4	12	4	6	116	240	432	8	6	6
8.	2	3	6	4	2	4	4	6	8	240	200	160	4	5	4
9.	2	1	6	3	3	9	2	1	2	240	54	120	14	6	22
10.	18	9	6	4	2	4	3	3	1	540	340	120	3	4	3
11.	1	2	1	2	1	3	4	2	1	420	600	900	3	3	4
12.	8	10	20	4	13	8	2	18	12	800	520	940	3	6	7
13.	4	2	5	2	8	4	11	4	2	150	160	440	7	6	8
14.	3	3	9	10	9	15	5	5	1	810	900	250	7	7	6
15.	9	9	2	4	3	2	1	2	4	180	120	220	7	8	6
16.	2	2	4	1	5	1	6	2	1	540	360	180	3	2	1
17.	10	5	5	7	2	4	7	3	3	290	140	210	10	9	5
18.	7	7	4	2	4	8	16	12	10	280	160	530	10	10	12
19.	3	2	1	4	2	4	3	3	4	70	80	120	7	8	7
20.	9	9	3	3	6	9	7	4	12	801	453	280	3	2	2

Задачу решить симплекс-методом.

Задание 3. Используя условия предыдущей задачи, необходимо:

1. К прямой задачи планирования товарооборота составить двойственную задачу ЛП;

2. Установить сопряжённые пары переменных прямой и двойственной задач;

3. Согласно сопряжённым парам переменных из решения прямой задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Задание 4. Поставщики товара – оптовые коммерческие предприятия A₁, A₂, A₃ имеют запасы товаров в количестве a₁, a₂, a₃ единиц и розничные торговые предприятия B₁, B₂, B₃ подали заявки на закупку товаров в объёмах соответственно b₁, b₂, b₃. Тарифы перевозок единицы груза из каждого пункта поставок в соответствующие пункты потребления заданы в таблице. Требуется найти такой план перевозки груза от поставщиков к потребителям, чтобы совокупные затраты на перевозку были минимальными.

bj ai	18	40	12
32	9	8	4
15	8	7	3
7	4	3	2

bj ai	12	19	9
18	5	8	2
22	8	9	4
15	6	7	3

bj ai	40	12	20
17	8	4	9
30	6	3	7
15	5	2	4

1. 2.

bj ai	14	20	22
50	3	8	9
18	3	4	5
12	2	7	6

3. 4.

bj ai	20	12	37
15	5	3	7
10	3	2	3
24	6	4	8

bj ai	9	31	20
20	3	9	8
14	4	6	7
12	2	4	5

bj ai	25	40	35
20	3	6	4
90	5	9	3
60	4	8	6

5. 6.

bj ai	20	12	8
22	7	6	3
18	8	4	2
16	2	3	1

bj ai	40	120	170
90	5	6	8
65	6	9	10
75	4	7	5

bj ai	16	20	35
15	6	7	5
8	5	6	4
20	9	10	6

7. 8.

9. 10.

11. 12.

bj ai	20	10	30
35	6	3	7
15	3	2	4
20	5	4	8

bj ai	25	19	21
40	5	3	6
17	2	1	2
23	7	4	8

bj ai	20	14	16
30	5	2	6
15	2	1	3
25	4	2	8

bj ai	21	30	32
16	5	9	7
32	4	6	5
20	3	5	4

bj ai	19	31	10
20	5	8	3
10	2	4	2
12	7	6	3

bj ai	17	13	25
20	8	3	6
15	4	2	5
30	9	4	7

bj ai	20	18	17
30	9	7	4
15	5	3	2
45	10	8	5

bj ai	14	20	30
25	4	5	9
10	2	3	3
12	4	6	8

bj ai	17	21	8
24	5	7	4
16	4	8	3
20	6	9	4

bj ai	10	7	18
15	6	3	7
18	4	2	9
12	5	3	8

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Контрольные вопросы.

1. Что называется математической моделью экономической задачи оптимизации?

2. Какой вид имеет математическая модель задачи линейного программирования?

3. Какая задача ЛП называется стандартной?

4. Какая задача ЛП называется канонической?

5. Что такое допустимое решение задачи ЛП?

6. Что образует область допустимых решений?

7. Какой план называется оптимальным?

8. Какой существует порядок составления математической модели задачи ЛП?

9. Какие задачи ЛП можно решать графическим методом?

10. Какой существует порядок решения задачи ЛП графическим методом?

11. Как строится вектор и что он определяет?

12. Как находится экстремальное значение целевой функции при решении задачи ЛП графическим методом?

13. Как найти точное решение задачи ЛП при графическом решении?

14. В чём состоит идея решения задачи симплексным методом?

15. Каков порядок решения задачи симплексным методом?

16. Как строится первый опорный план?

17. Как проверяется план на оптимальность?

18. Как строится новый опорный план?

19. Как формулируется пара симметричных двойственных задач?

20. Какова связь между формулировками прямой и двойственной задач?

21. Какова связь между решениями прямой и двойственной задач?

22. Как по решению прямой задачи найти решение двойственной задачи?

23. Как формулируется транспортная задача по критерию стоимости?

24. Что такое открытая и закрытая модель транспортной задачи?

25. Какова структура распределительной таблицы?

26. Как построить исходный план перевозок по правилу северо-западного угла?

27. Как построить исходный план перевозок по методу минимальной стоимости?

28. Как оценить построенный план перевозок?

29. Каков порядок решения задачи методом потенциалов?

30. Что такое цикл в транспортной задаче?

31. Как определить единственность транспортной задачи?

Содержание:

1. Пояснительная записка. Целевая установка……1

2. Программа…………………………………………...2

3. Рекомендуемая литература………………………..2

4. Методические указания……………………………3

Тема 1. Общее линейное программирование(ЛП)….3

1.1 Основные понятия и определения……………3

1.2 Примеры задач ЛП…………………………….5

Тема 2. Графический метод решения задач ЛП...…15

2.1 Геометрическая интерпретация задачи ЛП...15

2.2 Алгоритм решения задачи ЛП графическим

методом……………………………………….16

2.3 Примеры решения задачи ЛП графическим

методом……………………………………….17

2.4 Пример решения экономической задачи

графическим методом………………………..20

Тема 3. Симплекс – метод решения задачи ЛП……22

3.1 Алгоритм симплексного метода ………...…23

3.2 Пример решения задачи ЛП

симплекс – методом…………………….…...25

3.3 Частные случаи решения задачи ЛП

симплекс – методом…………………………29

Тема 4. Двойственная задача ЛП……………………30

4.1 Математическая модель двойственной

задачи ЛП………………………………….…30

4.2 Соотношения между прямой и двойственной

задачами ЛП…………………………………31

4.3 Пример решения двойственной задачи ЛП..32

Тема 5.Транспортная задача…………………………….33

5.1 Математическая модель транспортной задачи.33

5.2 Нахождение исходного опорного плана……....35

5.3 Проверка решения на оптимальность …...……36

5.4 Переход от одного опорного решения к другому37

5.5 Пример решения транспортной задачи………..38

Контрольные задания……………………………………..48

Контрольные вопросы…………………………………....54

58