4.3 Пример решения двойственной задачи лп.

Пример. Составим двойственную задачу к прямой задаче, которая решена симплексным методом в пункте 3.2.

Определить который удовлетворяет условиям-ограничениям:

и обеспечивает минимальное значение целевой функции

Используя схему перевода переменных прямой и двойственной задачи, получим оптимальный план

при этом

тыс.руб.

По этим данным проводится анализ оптимального плана двойственной задачи по оценке ресурсов, используемых для реализации товаров.

Тема 5.Транспортная задача.

5.1Математическая модель транспортной задачи.

Одной из характерных задач ЛП является так называемая транспортная задача. Она возникает при разработке наиболее рациональных способов и путей транспортирования товаров, устранение встречных, повторных и слишком дальних перевозок. А это сокращает время продвижения товаров и уменьшает затраты предприятий, осуществляющих процессы снабжения сырьём, топливом, оборудованием и т.д. Различают два вида транспортных задач: по критерию стоимости и по критерию времени.

Первая задача является частным случаем задачи ЛП и может быть решена симплексным методом, однако наличие большого числа переменных и ограничений делает вычисление громоздким. Поэтому для решения этих задач разработан специальный метод, позволяющий быстрее и проще находить оптимальный план решения задачи.

Сформулируем транспортную задачу.

Определить оптимальный план перевозок некоторого однородного груза от m поставщиков A₁, A₂, …A_m к n потребителям B₁, B₂, …B_n, причём стоимость перевозки 1 ед. груза (тариф) из пункта A_i, в пункт B_j равна c_ij.

Введём обозначения:

a_i – запасы грузы в пункте отправления A_i

b_j – величина заказа на этот груз в пункте назначения B_j

c_ij – тарифы перевозок из A_i в B_j

x_ij – количество груза, доставленного из A_i в B_j.

В зависимости от соотношения между суммарными запасами груза и суммарными потребностями в нём транспортные задачи могут быть закрытыми и открытыми.

Определение. Транспортная задача называется закрытой, если в противном случае задача называется открытой.

Условия транспортной задачи обычно задаются распределительной таблицей.

Математическая модель закрытой задачи имеет вид:

при ограничениях

т.е. от каждого поставщика будет вывезен весь груз в объёме данного ресурса,

т.е. каждому потребителю будет доставлен весь груз в объеме его потребности,

и условии

Оптимальным решением этой задачи является матрица , удовлетворяющая системе ограничений и доставляющая минимум целевой функции.

Всякую открытую транспортную задачу можно привести к закрытой с помощью добавления фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, принимая тарифы по этим направлениям равными 0.

Основные этапы решения транспортной задачи:

а) нахождение исходного опорного решения,

b) проверка этого решения на оптимальность,

c) переход от одного опорного решения к другому.

5.2 Нахождение исходного опорного плана.

Существует несколько способов нахождения исходного опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости.

Опишем применение этих методов на примере транспортной закрытой задачи, заданной распределительной таблицей:

Табл.13

bj ai	4	6	10
3	4	3	2
5	3	5	4
12	1	2	3

По методу северо-западного угла вначале получают значение перевозки x₁₁, которая расположена в северо-западной клетке матрицы перевозок. Причём x₁₁ присваивается максимально возможное значение, . После этого вычеркивают соответствующий столбец (строку), так как остальные перевозки из этого столбца (строки) должны быть равны 0. Если a₁=b₁, должны быть вычеркнуты и первый столбец, и первая строка. Затем корректируют запасы (потребности) невычеркнутой строки (столбца), и все повторяется для северо-западной клетки оставшейся матрицы. Исходное опорное решение представляется таблицей:

Табл. 14

bj ai	4	6	10
3	34	–3	–2
5	13	45	–4
12	–1	22	103

Значение целевой функции

По методу минимальной стоимости вначале заполняется перевозка x_ij с минимальной стоимостью c_ij. Если минимальных стоимостей несколько, выбирается произвольная переменная. Выбранной перевозке присваивается максимально возможное значение, x_ij=min(a_i,b_j). Затем вычеркивается соответствующий столбец (строка), корректируется потребность (запас) не вычеркнутого столбца( строки) и всё повторяется сначала. Тогда исходное решение представляется таблицей:

Табл. 15

bj ai	4	6	10
3	–4	–3	32
5	–3	–5	54
12	41	62	23

Очевидно, что полученные затраты на перевозки по плану, составленному методом наименьшей стоимости, ниже затрат по плану, составленному методом северо-западного угла.

Следовательно, второй план перевозок ближе к оптимальному.