3.3 Частные случаи решения задачи лп симплекс – методом.

Возможны следующие случаи:

1. При решении задачи ЛП на максимум признаком оптимальности плана является положительность всех коэффициентов индексной строки симплексной таблицы.

2. Если в разрешающем столбце все коэффициенты то функция цели неограниченна на множестве допустимых планов, т.е. и задачу решить нельзя.

3. Если в дополнительном столбце Q_i симплексной таблицы содержатся два или несколько одинаковых наименьших значений, то новый опорный план будет вырожденным (одна или несколько базисных переменных станут равными нулю). Вырожденные планы могут привести к зацикливанию, т.е. многократному повторению процесса вычислений, не позволяющему завершить задачу. Чтобы избежать этого, делим элементы строк, имеющие одинаковое наименьшее значение Q_i, на предполагаемые разрешающие элементы, а результаты заносим в дополнительные строки. За ведущую выбирается та строка, в которой раньше встречается меньшее число при чтении таблицы слева направо по столбцам.

4. Если в оптимальный план вошла дополнительная переменная x_n+i, то при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы i-го вида в количестве, полученном в столбце свободных членов симплексной таблицы.

5. Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис, а в столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов. Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Тема 4.Двойственная задача лп.

4.1 Математическая модель двойственной задачи лп.

Каждой задаче ЛП можно определённым образом поставить в соответствие другую задачу ЛП, которую называют двойственной по отношению к данной (исходной) задаче. Исходная и двойственная задачи тесно связаны между собой и образуют единую пару двойственных задач.

Сформулируем двойственную задачу для прямой задачи, рассмотренной в Теме 3.

Определить оценку единицы каждого вида ресурсов, чтобы при заданных объёмах ресурсов b_i, прибыли c_j, минимизировать оценку всех ресурсов торгового предприятия, затраченных на организацию торгового процесса.

Математическая модель двойственной задачи.

Определить который удовлетворяет ограничениям

и придаёт минимальное значение целевой фунции

Ограничения показывают, что стоимость всех ресурсов, затраченных на продажу единицы j-той группы товаров, должна быть не меньше прибыли, получаемой при реализации единицы j-той группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов должны быть минимизирована.

4.2 Соотношения между прямой и двойственной задачами лп.

Для симметричной пары задач двойственная задача по отношению к прямой составляется по следующим правилам:

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путём транспонирования.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

5. На каждую переменную двойственной задачи накладывается условие неотрицательности.

6. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум,и наоборот..

7. Коэффициентами функции цели двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

8. Для основной задачи ЛП и двойственной к ней задачи справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач ЛП имеет решение, то и другая задача имеет решение, причём значения целевых функций этих задач равны, т.е. .

Теорема 2. Произвольное допустимое базисное решение одной задачи из пары двойственных задач оптимально тогда и только тогда, когда система ограничений двойственной задачи совместна.

Теорема 3. Если целевая функция одной из пары двойственных задач неограниченна снизу(сверху), то система ограничений другой задачи этой пары несовместна.

9. Зная решение одной задачи из пары двойственных задач, можно, не решая вторую задачу, найти её решение, которое получается из соответствия основных и дополнительных переменных этих двух задач.

Сопряжённые пары:

Решение прямой задачи даёт оптимальные объёмы в структуру товарооборота предприятия, а решение двойственной – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации товаров.