3.1Алгоритм симплексного метода.

Включает следующие шаги:

1 шаг. Составление первого опорного плана.

Система ограничений задачи задана в виде системы неравенств. Перейдём от системы неравенств к системе уравнений путём введения неотрицательных дополнительных переменных, т.е. приведём математическую модель задачи к каноническому виду. Вектор-столбцы при этих переменных представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными:

где x_j – свободные переменные, x_h+i - базисные переменные.

Решаем эту систему относительно базисных переменных:

а функцию цели перепишем в виде:

Полагая, что основные переменные x₁= x₂= x₃=…= x_n=0, получим первый опорный план

Заполняем первую симплексную таблицу, которая состоит из коэффициентов системы ограничений и свободных членов. Последнюю индексную строку заполняем коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками.

2 шаг. Проверка плана на оптимальность.

Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы первого плана при решении задачи на максимум неотрицательны, то план , является оптимальным и задача решена. Если найдётся хотя бы один отрицательный коэффициент в индексной строке, то план - не оптимальный и его можно улучшить.

3 шаг. Определение ведущего столбца, ведущей строки, разрешающего элемента.

Из отрицательных элементов индексной строки выбираем «наихудший» (наибольший по абсолютной величине), он определяет ведущий столбец (заштриховать), который показывает, какая переменная на следующей итерации перейдёт из свободных в базисные.

Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делим на соответствующие положительные элементы ведущего столбца.

Введём дополнительный столбец , в который запишем результаты данного деления. Минимальное значение столбца определяет переменную , которая на следующей итерации выйдет из базиса и станет свободной.

На пересечении ведущего столбца и ведущей строки находится разрешающий элемент (выделяем кружком).

4 шаг. Построение нового опорного плана.

Строим новую таблицу плана . Для этого все элементы ведущей строки делим на разрешающий элемент, результаты заносим в новую таблицу. Заполняем базисные столбцы. Остальные элементы нового плана находим по правилу «прямоугольника»:

А РЭ

НЭ(СЭ) В

где НЭ – новый элемент, СЭ – старый элемент, РЭ – разрешающий элемент, А и В – элементы старого плана, составляющие диагональ, противоположную диагонали СЭ-РЭ.

5 шаг. Проверка на оптимальность нового плана.

План проверяется на оптимальность в соответствии с шагом 2, делается вывод об оптимальности второго плана или, в противном случае, улучшение плана продолжается аналогично до тех пор, пока в индексной строке не останется отрицательных коэффициентов.

3.2 Пример решения задачи лп симплекс-методом.

Задача. Для реализации трёх групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a₁₁=4 единиц, ресурса второго вида в количестве a₂₁=3 единиц, ресурса третьего вида в количестве a₃₁=12 единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a₁₂=8, a₁₃=2 единиц, ресурсов второго вида в количестве a₂₂=8, a₂₃=4 единиц, ресурсов третьего вида в количестве a₃₂=4, a₃₃=6 единиц. Прибыль от продажи трёх групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁=8, c₂=6, c₃=6(тыс. руб.). Определить плановый объём и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной. Сведём условие задачи в таблицу.

Табл.9

Виды ресурсов	Норма затрат ресурсов			Объём ресурсов bi
	I гр.	II гр.	III гр.
1	4	8	2		116
2	3	8	4		240
3	12	4	6		432
Прибыль	8	6	6		-

Запишем математическую модель задачи:

При ограничениях

найти такой план , что

Для получения первого опорного плана преобразуем систему ограничений к системе уравнений:

Целевая функция для примет вид:

При этом условии построим первый опорный план, расположив его в первой симплексной таблице. Учитывая шаги 1-5, улучшаем план, получаем вторую и третью симплексные таблицы.

Табл.10

План	БП	Ресурсы плана	Коэффициенты при переменных
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
I	x4	116	4	8	2	1	0	0		29
	x5	240	3	8	4	0	1	0		80
	x6	432	12	4	6	0	0	1		36
Индексная строка		0	-8	-6	-6	0	0	0		-

Табл.11

План	БП	Ресурсы плана	Коэффициенты при переменных
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
II	x1	29	1	2	0.5	0.25	0	0		58
	x5	153	0	2	2.5	-0.75	1	0		61.2
	x6	84	0	-20	0	-3	0	1
Индексная строка		232	0	10	-2	2	0	0		-

Табл.12

План	БП	Ресурсы плана	Коэффициенты при переменных
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
III	x3	58	2	4	1	0.5	0	0
	x5	8	-5	-8	0	-2	1	0
	x6	84	0	-20	0	-3	0	1
Индексная строка		348	4	18	0	3	0	0

 тыс.руб.

На 3 итерации получился план III, который можно считать оптимальным, и.к. все коэффициенты индексной строки неотрицательны. Следовательно, необходимо продавать товаров III группы 58 единиц, при этом коммерческое предприятие получает максимальную прибыль 348 тыс. руб. Товары I и II групп не реализуются, т.к. x₁=0, x₂=0.

В оптимальном плане среди базисных переменных находятся дополнительные переменные x₅ и x₆. Это указывает на то, что ресурсы второго и третьего вида, недоиспользованы соответственно на 8 и 84 единицы, а ресурс I вида использован полностью, т. е. x₄=0.

В индексной строке III плана в столбцах переменных x₁, x₂, x₄, не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи ЛП является единственным.