Системы функций, не являющихся чебышевскими.
Пусть на [-1,1] задана
система функций
;
.
Тогда, если в качестве узлов взять,
например, точки
;
;
то получим
,
.
Другой пример:
;
;
;
;
.
Вообще из (3) видно,
что если какая-либо из функций
,
k=0,…,n обращается на отрезке [a,b] в ноль
более чем n раз, то система не является
чебышевской. Действительно, если,
например,
для
некоторого j и для k=0,…,n, то выбирая точки
в
качестве узлов интерполирования,
получим, что j-ый столбец матрицы A
содержит только нулевые элементы.
Отсюда можно
доказать, что для того чтобы система
,
k=0,…,n была чебышевской на [a,b], необходимо
и достаточно, чтобы любой обобщенный
интеграл по этой системе
,
у которого хотя бы один из коэффициентов
отличен от нуля, имел на [a,b] не более n
нулей.
Можно также доказать, что определитель A отличен 0 тогда, когда система базисных функций линейно независима на множестве узлов. Поэтому система функций называется чебышевской, если она независима на любом конечном множестве (n+1) точек на отрезке [a,b].
Напомним, что
система функций
,
k=0,…,n называется линейно зависимой на
некотором множестве точек
,
если существует набор коэффициентов
,
среди которых хотя бы один отличен от
нуля, обращающих в тождественный нуль
на множестве X линейную комбинацию
функций
,
.
Если это равенство выполняется только в том случае, когда a0=a1=…=an=0, то система функций , k=0,…,n называется линейно зависимой на множестве X.
Очевидно, что
система функций независима на множестве
X, то она независима и на множестве
.
Обратное неверно!
-
линейно зависимы
нельзя подобрать коэффициенты, чтобы многочлен є 0
-
линейно зависимы
можно определить значения коэффициентов, чтобы значение многочлена є 0.