Устойчивость. Корректность. Сходимость

Устойчивость. Чувствительность задачи к неустранимым погрешностям в исходных данных характеризуется устойчивостью. Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение исходной величины y. Задача называется устойчивой по исходному параметру x, если решение y непрерывно от него зависит, т.е. малое приращение исходной величины приводит к малому приращению искомой величины . Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.

Корректность. Задача называется корректно поставленной, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решений существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

В настоящее время развиты методы решения некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной задачей, которая содержит некоторый параметр, при стремлении которого к нулю решение такой задачи переходит в решение исходной задачи.

Сходимость означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению задачи. Ограничимся лишь двумя понятиями сходимости.

Сходимость итерационного процесса. Итерационный процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса – итераций – получаем последовательность значений y₀,y₁,…y_n,… Говорят, что эта последовательность сходится к точному значению , если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен a: .

Понятие сходимости используемое в методах дискретизации. Методы дискретизации заключаются в замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функций вычисляются в фиксированных точках. Здесь под сходимостью метода понимается стремление значений решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации.

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

3. Постановка задачи аппроксимации

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими в том или ином смысле близкими к исходным.

Под аппроксимацией в математике понимается операция нахождения неизвестных численных значений какой-либо величины по известным ее значениям и, может быть, численных значений других величин, связанных с рассматриваемой. Задачи такого рода возникают во многих разделах науки и ее приложений, и проблема аппроксимации поэтому является многосторонней. Одной из основных задач аппроксимации является задача интерполяции. В достаточно общем виде для многих случаев, она может быть сформулирована следующим образом. Пусть в точках известны значения функции ; в точках известны значения первой производной от нее и т.д. и, наконец, в точках известны значения ее m–ой производной . Точки – называются узлами интерполирования., а совокупность пар чисел – исходными данными интерполирования. Общее число исходных данных n.

Пусть значение x отлично от узлов , где известны значения f. Нужно, пользуясь исходными данными, найти значение f(x), или значение производной или других величин, связанных с f.

Если относительно f не делать дополнительных предположений, то такая задача является неопределенной, и в качестве f(x) может быть взято любое число. Для пояснения существа вопроса достаточно взять простейший частный случай, когда интерполирование f(x) для всех значений [a,b] выполняется по значениям только функции f, заданных в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений в каком-либо натуральном эксперименте, либо в результате вычисления по некоторой модели при подмене сложной модели более простой, Поэтому требуется найти достаточно простую формулу, которая позволила бы найти приближенное значение функции с требуемой точностью в любой точке отрезка, в результате ставится следующая задача.

Пусть на отрезке [a,b] задана сетка и в ее узлах заданы значения f(x): , ,…, ,…, . Пусть на [a,b] задано также некоторое семейство функций вектор параметров, значение которого определяет конкретную функцию из этого семейства. Требуется определить значения свободных параметров так, чтобы аппроксимирующая функция (интерполента) совпадала с f(x) в узлах сетки: i=0,1,…,n.

Основная цель интерполяции: получить быстрый (экономичный) алгоритм приближенного вычисления значений f(x) для значений x не содержащихся в таблице данных. Основной вопрос: как выбрать семейство функций среди которых ищется интерполента и как оценить погрешность . Как правило, интерполирующие функции строятся в виде линейных комбинаций некоторых фиксированных функций:

где , k=0,1,…,n – фиксированная система функций. При этом задача интерполяции функции f(x) системой функций на сетке состоит в нахождении коэффициентов C₀,…,C_n, для которых выполнены условия, называемые условиями интерполирования:

или в развернутом виде:

Возникает вопрос о существовании и единственности решения общей задачи интерполирования. Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно чтобы определитель матрицы был отличен от нуля.

Более того поскольку узлы могут быть расположены на [a,b] как угодно, лишь бы среди них не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы при любом расположении узлов. Выполнение или невыполнение этого требования зависит от выбора системы функций , k=0,…,n.

Система функций , k=0,…,n называется системой Чебышева на [a,b], если определитель матрицы A отличен от нуля при любом расположении узлов , когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача интерполирования однозначно разрешима, если , k=0,…,n чебышевская система функций. Функция (1) удовлетворяющая условиям интерполяции (2), называется обобщенным интерполяционным многочленом по системе , k=0,…,n.

Примеры чебышевских систем:

система степенных функций: , , , .

система тригонометрических функций на отрезке периодичности: , , , ,…