8

Лекция № 2 Точность и погрешность вычислений

1. Приближенные числа и понятие погрешности

2. Основные источники погрешности

3. Постановка задачи аппроксимации

Решение задач на ЭВМ практически всегда является приближенным, т.е. решение находится с некоторой погрешностью.

Пусть а – точное значение некоторой величины. Приближенным значением а^* этой величины называется число, незначительно отличающееся от точного значения а и заменяющее его в вычислениях. Если а^* < а, то а^* - приближенное значение по недостатку; если же а^* > а, то а^* - приближенное значение по избытку. Т.к. знак погрешности Δ =а-а^* обычно неизвестен, то используют понятие абсолютной погрешности Δ приближенного числа а^* , под которой понимается величина

Абсолютная погрешность недостаточна для полной характеристики точности вычислений. Например, из двух результатов см. и см. первый представляется нам более точных, хотя абсолютные погрешности здесь одинаковые D =0,1.

Относительной погрешностью d приближенного числа а^* называется отношение абсолютной погрешности к модулю соответствующего точного числа:

.

К сожалению, истинное значение величины a обычно неизвестно, имеется лишь приближенное значение а^* . Поэтому находят предельную погрешность , являющуюся верхней оценкой модуль абсолютной погрешности, т.е. . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а^* .

2. Основные источники погрешности

Погрешности возникающие при решении прикладных задач численными методами могут быть разбиты на четыре группы:

1. Погрешности задачи (модели) связаны с самой математической постановкой решаемой содержательной задачи. Они обусловлены тем, что принятая математическая модель лишь приближенно описывает отражаемое явление.

2. Погрешности исходных данных связаны с тем, что числовые параметры, входящие в математическую модель исследуемого явления могут быть заданы лишь приближенно. Роль таких числовых параметров играют, в частности, значение компонент входного вектора модели .

3. Погрешности метода возникают по двум причинам:

во-первых, для решения поставленной задачи численным методом ее часто приходится заменять на другую, близкую к ней математическую задачу.

во-вторых, многие математические задачи решаются итерационными методами, путем построения бесконечных численных последовательностей, пределы которых являются искомым решением. Поскольку бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен за конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться на некотором члене последовательности, считая его приближенным решением. Возникающую при погрешность называют остаточной.

4. Погрешности округления связаны с самой системой счисления и обусловлены ограниченной разрядной сеткой ЦВМ.

Погрешности первых двух типов называются неустранимыми погрешностями. Погрешности третьего и четвертого типов могут быть снижены за счет более точной аппроксимации исходной задачи, увеличения числа итераций, увеличения длины машинного слова. При любых расчетах справедливо правило: длина машинного слова должна быть такова, чтобы погрешность округления была много меньше всех остальных.