Применение дифракции.

Оценка качества изображения на базе теории дифракции.

Одним из главных вопросов, решаемых с помощью теории дифракции, является оценка качества изображения. Дифракционная природа изображения определяет одну из важнейших характеристик оптических систем – разрешающую способность. Если оптическая система обладает большими остаточными аберрациями, то оценка качества системы сводится к определению этих аберраций, точные значения которых можно найти тригонометрическим расчетом лучей, или приближенно, используя теорию аберраций третьего порядка. Если аберрации настолько малы, что систему можно считать безаберрационной, то все искажения, вносимые ею, будут следствием волновой природы света - дифракцией, которая возникает на материальных преградах в оптической системе. Такие системы называются дифракционно ограниченными. Доказано, что в любой оптической системе такая материальная преграда обязательно присутствует и ею является апертурная диафрагма. Именно на ней и происходит дифракция, в результате чего волновой фронт от предмета деформируется, что и приводит к ухудшению качества изображения. На практике иногда удобнее использовать изображения апертурной диафрагмы – входной или выходной зрачок.

Критерий Релея.

Оценим разрешающую способность телескопа или зрительной трубы. В этих приборах апертурной диафрагмой и одновременно и входным зрачком является оправа объектива. Поскольку оправа объектива является отверстием диаметра , то распределение освещенности в дифракционной картине в плоскости полевой диафрагмы (плоскости промежуточного действительного изображения) имеет осевую симметрию и описывается с помощью функции Бесселя

Рис. 9 Дифракционное изображение точки.

(28)

где , - радиус оправы объектива (выходного зрачка), , и - координаты в плоскости полевой диафрагмы, - длина волны излучения, фокусное расстояние объектива. Таким образом, в этой оптической системе каждая точка предмета будет отображаться распределением (28) – дифракционным распределением Эри и будет иметь вид, показанный на рис. 9. Таким образом, детали изображения объекта меньшие, чем показанное распределение, будут отображаться с искажениями. Эти искажения будут зависеть от соотношения размеров изображаемых деталей и дифракционного распределения. Таким образом, что бы определить порог допустимых искажений, вводится понятия "разрешающей способности оптической системы", которое определяет условия, когда система формирует изображение удовлетворительного качества. Характеристики полученного изображения и определяют этот порог.

Рис 11 Сечение энергетического профиля.

1-распределение освещенности в изображении одной точки. 2 –распределение в изображении двух точек

Рис 10 Дифракционное изображение двух

близких звезд

Впервые понятие разрешающей способности ввел Релей, именно для астрономических телескопов. Им была предложена следующая количественная оценка разрешения - точки (изображения звезд) считаются оптически разрешимыми, если главный максимум в дифракционном распределении освещенности изображения одной звезды совпадает с первым минимумом распределения в изображении соседней. Вид такой дифракционной картины приведен на рис.10. Сечение ее энергетического профиля по оси симметрии приведено на рис. 11. Из вида дифракционного изображения и его энергетического сечения следует, что кривая, описывающая это сечение, имеет провал, освещенность в котором составляет на 22% от освещенности в максимуме. Изложенный способ определения разрешающей способности оптической системы носит название критерий Релея. Однако в зависимости от приемника излучения можно зафиксировать разницу в освещенностях меньшую, чем в этом критерии и тем самым "улучшить" разрешающую способность. Например, человеческий глаз способен определить разницу в освещенностях порядка 10%, а фотодетекторы и того меньше. Таким образом, критерий Релея является относительной оценкой качества изображения.

Рис. 12

Определим разрешающую способность телескопа по критерию Релея в зависимости от его конструктивных параметров. Схема телескопа (без окулярной части) приведена на рис.12.

Наблюдаемые в телескоп астрономические объекты – звезды находятся на огромных расстояниях и их вполне можно считать точечными источниками в бесконечности, излучение от которых попадает на объектив в виде плоских волн. Пусть угловое расстояние между наблюдаемыми звездами составляет радиан. Тогда в задней фокальной плоскости объектива будут два дифракционных изображения звезд в виде распределений Эри (28) и рис. 10, расстояние между которыми составит (с учетом малости угла ).

.

(29)

В соответствии с критерием Релея звезды будут различимы как два объекта, если расстояние между их изображениями будет больше или равно радиусу первого темного кольца распределения Эри. Функция этого распределения описывается выражением (28) и радиус отмеченного выше кольца равен значению первого нуля функции Бесселя , т.е. из следует, что . Значение известно, откуда радиус первого кольца будет как

.

(30)

где - радиус оправы объектива, - ее диаметр, - длина волны излучения, - фокусное расстояние объектива.

Отсюда минимальное расстояние между изображениями, которое можно зафиксировать согласно критерию Релея, равного первого кольца распределения будет

.

(31)

В угловых единицах значение разрешения будет

.

(32)

Из выражения (32) можно получить формулу для предельного углового разрешения , удобную для практического использования. Переходя из радиан в угловые секунды и полагая длину волны , близкой к максимальной спектральной чувствительности глаза, и подставляя в (32) получим

,

(31)

где - число угловых секунд в радиане, - диаметр объектива в миллиметрах.

Следует отметить, что критерий Релея используется не только для оценки качества телескопов и зрительных труб. По этому критерию определяют разрешение интерферометров, спектральных приборов и многих других оптических приборов. Критерий Релея является наиболее распространенным.