19

Лекция Дифракция

Рис. 1

Принцип Гюйгенса. Интеграл Кирхгофа. Под дифракцией принято называть оптические эффекты, которые не могут быть объяснены с позиций геометрической оптики. В частности, под дифракцией подразумеваются явления, при которых свет отклоняется от прямолинейного распространения. Одним из примеров дифракции является проникновение света за границу тени от непрозрачной преграды (рис. 1А). Однако наличие преграды не является обязательным. Пример – лазерный пучок распространяется так, что его каустики представляют собой гиперболы (рис. 2Б).

Дифракцию можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса – Френеля, который является следствием уравнений Максвелла. Такое объяснение не является единственным, но его достоинство заключается в наглядности, к тому же основные положения этого принципа были сформулированы еще до получения уравнений Максвелла.

Рис. 2

Суть принципа заключается в следующем. Каждая точка волнового фронта является точеным источником вторичной сферической волны, при этом его комплексная амплитуда равна комплексной амплитуде исходной волны в данной точке. Комплексная амплитуда поля в произвольной точке пространства будет суммой комплексных амплитуд всех вторичных волн, т.е. их интерференции, в этой точке. Таким образом, принцип Гюйгенса позволяет определить распределение амплитуд и, соответственно, распределение освещенности во всех точках пространства, т.е. получить исчерпывающую характеристику электромагнитного поля.

Получим математическую запись этого принципа. Зададим некоторую поверхность , через которую проходит исходная волна. Определим связанную с ней систему координат . Через произвольную точку пространства , в которой требуется определить амплитуду поля, проведем плоскость , параллельную координатной плоскости и определим в ней систему координат так, что ее оси были параллельны соответствующим осям . Возьмем на произвольную точку с координатами , при этом , где - уравнение поверхности . Согласно вышеизложенному, в ней находится точечный источник с комплексной амплитудой

,

(1)

где и ¹ - амплитуда и фаза падающей волны в этой точке. Уравнение сферической волны, вышедшей из в точке с координатами будет

,

(2)

где радиус сферы, в данном случае равным расстоянию между точками и , - расстояние между началами координат и . Таким образом комплексная амплитуда волны в точке , вышедшей из точки будет

.

(3)

Полная амплитуда в точке есть сумма амплитуд сферических волн от всех вторичных источников, т.е. интеграл

,

(4)

где - область поверхности , в которой расположены вторичные источники.

Полученное выражение представляет собой дифракционный интеграл в приближении Кирхгофа. Вычисление этого интеграла позволит решить поставленную задачу – по заданному значению поля на некоторой поверхности определить амплитуду электромагнитного поля в любой точке пространства.

Рис. 3

Однако вычисление этого интеграла сопряжено с большими трудностями. Прежде всего, существует крайне мало функций , для которых результат интегрирования выражается через конечное число функций, т.е. представим в аналитическом виде. Кроме того, использование вычислительных средств приводит к недопустимо большим затратам машинного времени. Это происходит из-за осциллирующего характера подынтегральной функции. Дело в том, что сомножитель , который в силу формулы Эйлера выражается через синус и косинус, аргументы, которых содержат большое число (например, для ). Такая функция будет менять знак через 0.63 мкм и при интегрировании (к примеру) по квадратной площадке 10 10 мм число перемен знака у подынтегральной функции будет порядка . Для получения хотя бы примерного результата необходимо эту цифру умножить минимум в 6 раз, поскольку большинство алгоритмов интегрирования вычисляют площадь под кривой (в данном случае объем под поверхностью). Надо сказать, что существуют специальные алгоритмы вычисления таких интегралов, время выполнения которых существенно меньше, но все равно затраты времени недопустимо высоки.

Тем не менее, попытки вычисления таких интегралов предпринимались, и первая оценка его величины была осуществлена Френелем с помощью так называемого методом зон Френеля. Он достаточно хорошо изложен в курсе физики, поэтому напомним лишь его основную идею и выводы. Суть его заключается в следующем. Сферический волновой фронт, исходящий из точечного источника , на котором располагаются вторичные источники, разбивается на ряд концентричных оси зон так, чтобы разность хода от середин двух соседних зон равнялась половине длины волны (рис. 3).

(5)

Доказывается, что площади этих зон почти равны, поэтому световые потоки от вторичных источников в этих зонах почти равны и так как в соседних зонах они в противофазе, в точке эти потоки взаимно уничтожаются. Таким образом, если рассматривать дифракцию на отверстии, то если на нем помещается четное число зон, то в точке будет минимум освещенности, а если четное, то максимум. Радиус зоны Френеля вычисляется по формуле

,

(6)

где - расстояние по оси от источника до отверстия; - расстояние от отверстия до точки наблюдения . Если источник в бесконечности, т.е. на отверстие освещается параллельным пучком, то выражение (6) упрощается

.

(7)

С

Рис. 4

помощью зон Френеля легко объясняется дифракционный эффект, называемый пятном Пуассона. Если на пути параллельного пучка лучей поместить препятствие так, что его размер будет равен первой зоне Френеля, то согласно вышеизложенному, в точке будет максимум освещенности, т.е. яркое пятно (рис. 4). Это противоречит геометрической оптике, поскольку точка находится в центре тени от препятствия. Это эффект можно использовать для определения границы применения приближения геометрической оптики – если соотношение между размером препятствия , расстояния от него и длиной волны излучения таковы, что размер препятствия порядка первой зоны Френеля, т.е.

,

(8)

то необходимо учитывать волновые свойства света - приближение геометрической оптики в данном случае неправомерно.

Рис. 5

Дифракционные приближения. Дифракционные интегралы. Отмечалось, что дифракционный интеграл Кирхгофа неудобен для вычислений. Напомним, что физически этот интеграл представляет сумму вторичных сферических волн. Однако волновые свойства свет проявляет, в основном, в пучках с малой расходимостью, т.е. в узких пучках. В противном же случае аберрационные эффекты значительно сильнее волновых и вычисление дифракционных интегралов теряет смысл. Таким образом, на практике необходимо учитывать лишь небольшую часть сферических волновых фронтов вторичных волн. Это обстоятельство позволяет существенно упростить дифракционный интеграл и придать ему вид, значительно более удобный для практического использования. Таким образом, необходимо рассматривать такую геометрию распространения света, когда характерный размер объекта, на котором происходит дифракция и размер области, где она наблюдается , значительно меньше расстояния между ними (рис. 5), т.е.

.

(9)

Выберем в качестве поверхности вторичных источников плоскость ( и используя соотношения (9), преобразуем выражение для с помощью разложения для

.

(10)

Тогда для экспоненты

(11а)

где , но для в знаменателе

,

(11б)

в силу соотношений (9).

Объединяя константы в (11а) и (11б) в одну, запишем интеграл в виде

.

(12)

Полученное выражение называется дифракционным интегралом в приближении Френеля, а условия, когда такое приближение справедливо, иногда называют волновой зоной. Геометрически это приближение означает замену сферы параболоидом вращения. Этот интеграл значительно проще. В частности, если , то переменные в подынтегральном выражении разделяются и двукратный интеграл заменяется произведением двух однократных, что приводит к принципиальному упрощению.

При дальнейшем уменьшении угла расходимости пучка, или что эквивалентно усилению соотношения (9), можно считать, что в формировании дифракционной картины участвует такая малая часть сфер вторичных волн, что эти волны можно считать плоскими. Математически это означает, что в показателе экспоненты подынтегрального выражения можно пренебречь квадратами переменных и интеграл (12) примет вид

.

(13)

Этот интеграл называется дифракционным интегралом в приближении Фраунгофера, а условия его выполнения называют дальней зоной. Необходимо отметить, что условия приближения Кирхгофа называются ближней зоной.

Интегралы (12) и (13) представляют собой так называемые интегральные преобразования, так как они ставят в соответствие функции функцию , при этом (12) является преобразованием Френеля, а (13) – преобразованием Фурье. Выражение (13) представляет собой сумму плоских наклонных волн с углами (рис.5)

и .

(14)

Если дифрагирующий объект поставить перед линзой с фокусным расстоянием , то все лучи с углами наклона (14), т.е. параллельные между собой, соберутся в фокальной плоскости в точке с координатами в фокальной плоскости и , определяемые соотношениями

и .

(15)

Комбинируя (14) и (15) и подставляя результат в (13) интеграл можно записать как

.

(15)