2. Модель однопродуктовой фирмы

Для обоснования функции предложения используются математические модели фирмы. Простейшая такая модель – это модель однопродуктовой фирмы.

Чтобы исследовать эту модель принимается 5 гипотез по условию производства:

1. Будем считать, что цены на рынке постоянные (P = const).

2. Спрос всегда больше предложения. Это означает, что весь товар, поступивший на рынок, будет куплен (D > S, где D, demand –спрос товара, S, supply –предложение товара).

3. Фирма имеет средства для закупки ресурсов для производства, цены на ресурсы постоянны (P_рес = const).

4. Технологические условия производства не меняются (Δt→0).

5. Наибольшая выгода предприятия достигается при получении максимально возможной прибыли при заданных условиях.

Для наглядного представления взаимодействия моделей фирмы на рис.2 представлена концептуальная схема однопродуктовой фирмы.

Рис. 2. Блок-схема концептуальной модели однопродуктовой фирмы

Предложение товаров на рынке во многом зависит от издержек производства – производственных затрат, которые многие экономисты определяют как важнейший фактор, воздействующий на предложение.

Объясняется это следующим. Производитель, если на него не оказывается экономического давления, действует, соблюдая свои собственные интересы, то есть, стремится максимизировать получаемую им прибыль (разницу между выручкой от реализации и затратами на ее производство). Это означает, что, принимая решение об объеме производства для предложения на рынке, производитель всякий раз выбирает такой объем производства, который обеспечивает ему наибольшую прибыль. На первый взгляд кажется, что увеличение объема производства ведет к увеличению выручки, но оказывается, что каждая фирма имеет пределы своего роста. Рост фирмы и, следовательно, предложения на рынке за этими пределами ведет к увеличению издержек производства.

Издержки производства фирмой того или иного объема продукции зависят не только от цен на необходимые ресурсы, но и от технологии - от количества ресурсов, которого требует производство. Именно технологический аспект формирования издержек и интересует нас в данный момент. В течение краткосрочного периода фирма способна менять объем производства, вовлекая в этот процесс дополнительные количества поддающихся изменению ресурсов, при том, что производственные мощности остаются неизменными. Но каким образом изменяется объем производства по мере того, как все большее и большее количество переменных ресурсов присоединяется к постоянным ресурсам фирмы?

В самой общей форме ответ на этот вопрос дает закон убывающей отдачи, который также называется «закон убывающего предельного продукта», или «закон изменяющихся пропорций». Этот закон гласит, что при последовательном присоединении переменного ресурса (например, труда) к постоянному (фиксированному) ресурсу фирмы (например, капиталу или земле) добавочный, или предельный, продукт, приходящийся на каждую последующую единицу переменного ресурса, начиная с определенного момента уменьшается [1].

Введем определения предельных издержек фирмы, которое нам понадобится для определения оптимальной цены выпускаемого объема продукции при условии получения максимальной прибыли.

Предельные издержки (marginal costs) — это дополнительные, или добавочные, издержки, возникшие в результате производства еще одной дополнительной единицы продукта. Для каждой добавочной единицы продукта предельные издержки можно определить просто по изменению общих издержек, вызванному производством этой единицы.

Для принятия решений о том, какой объем продукции конкурентная фирма должна предложить на рынке по определенной цене, состоит в определении и сравнении величин, которые каждая дополнительная единица продукта добавляет к валовому доходу и общим издержкам. Иначе говоря, фирме следует сопоставлять предельный доход (MR) и предельные издержки (МС) производства каждой последующей единицы продукта. Любую единицу продукта, предельный доход от которой превышает связанные с ней предельные издержки, следует производить, поскольку от продажи каждой такой единицы фирма получает больше дохода, чем добавляет к издержкам, производя эту единицу. Следовательно, такая единица продукта увеличивает совокупные прибыли или сокращает убытки. Точно так же, если предельные издержки производства единицы продукта превышают порождаемый ею предельный доход, фирме следует отказаться от выпуска этой единицы. Она добавит больше к издержкам, чем к доходу; такая единица продукта не окупит себя.

В условиях чистой конкуренции цена продукта определяется рыночными силами предложения и спроса; и, хотя при данной цене конкурентная фирма может продавать сколь угодно много или сколь угодно мало, она не в состоянии манипулировать самой ценой. Но тогда можно сказать, что кривая спроса на продукт конкурентного продавца или его продаж совершенно эластична к текущей рыночной цене. Вследствие этого цена продукта и предельный доход равны; то есть каждая проданная дополнительно единица продукта добавляет свою цену к валовому доходу.

Поскольку мы рассматриваем простейшую модель однопродуктовой фирмы при заданных выше условиях, сопоставим предельные издержки (MC) и цену продукта (P). Представим нашу функцию полных издержек следующим образом:

C = a Q + b, где a>0, b>0

Тогда предельные издержки будут равны:

MC = C’(Q) = a

Напомним, что прибыль (I) - это разность между выручкой (R) от реализации продукции и затратами на ее производство (C):

I = R- C (3)

Выручка определяется произведением реализованного объема товара (Q) на его цену (P):

R = PQ (4)

А издержки производства это функция от объема произведенного товара:

C = C(Q)

Для нахождения максимума прибыли, продифференцируем функцию прибыли I и приравняем ее дифференциал к нулю:

P = MC = a (5)

Таким образом, максимальная прибыль достигается в точке, где предельные издержки равны цене товара.

Рис. 3. Функции прибыли, издержек и выручки

Геометрический смысл (Рис. 3) выражения P = MC = a заключается в том, что в точке максимума прибыли касательная к линии полных издержек параллельна линии дохода.

Если мы зафиксируем постоянную прибыль (I= const), то

I = R - C = PQ - C(Q)

PQ = I + C(Q)

Тогда, чтобы найти оптимальную цену, возьмем производную от P по Q и приравняем ее к нулю:

MC = P = a

Таким образом, в условиях чистой конкуренции — и только при чистой конкуренции — чтобы максимизировать прибыли или минимизировать убытки, конкурентной фирме следует придерживаться такого объема производства, при котором цена равна предельным издержкам (Р = МС). Это правило равенства цены и предельных издержек (Р = МС) представляет собой частный случай правила равенства предельного дохода и предельных издержек (MR = МС), которое звучит следующим образом: фирма максимизирует прибыли или минимизирует убытки, когда ее производство соответствует точке, где предельный доход равен предельным издержкам.

Этот основополагающий принцип максимизации прибыли называется правилом равенства предельного дохода и предельных издержек (MR = МС).

В большинстве случаев не существует такого выраженного целым числом объема производства, при котором предельный доход и предельные издержки были бы в точности равны. В подобных обстоятельствах фирме следует производить последнюю целую единицу продукта, для которой предельный доход больше предельных издержек.

Далее рассмотрим формулу полных издержек и определим, какое максимальное количество продукта может выпускать фирма, чтобы получить максимальную прибыль.

Как известно, в краткосрочном периоде (Δt→0) существует зависимость между объемом выпускаемого товара и трудом, затраченным на его производство.

Q = Q(L), (6)

где L – это объем труда, необходимый для выпуска продукции Q

Из закона убывающей производительности труда следует, что начиная с некоторого объема труда, рост производства приводит к росту трудоемкости.

Обозначим – трудоемкость, тогда – производительность труда.

Для упрощения анализа модели, предположим, что трудоемкость – это линейная функция от объема производства, и запишем ее следующим образом:

= aQ + b, где a>0, b>0

Отсюда затраты труда равны:

L = aQ² + bQ (7)

Чтобы выполнить анализ необходимо иметь аналитический вид функции полных издержек (С), который выглядит следующим образом:

C = C₁ + C₂ + f

где C₁ – переменные издержки (оплата труда рабочих);

C₂ – переменные издержки (затраты на материалы, сырье, электроэнергию);

f – постоянные издержки фирмы (арендная плата, налоги, проценты по займам, оплата охраны, реклама и пр.).

Введем обозначения:

w – средняя заработная плата одного рабочего;

m – расход сырья по цене P_m, на единицу продукции;

e – расход энергии по цене P_e , на единицу продукции

Тогда затраты на оплату труда рабочих составят:

C₁ = wL = waQ² + wbQ

Затраты на сырье и электроэнергию составят:

Отсюда, формула полных издержек примет следующий вид:

Перепишем эту формулу в виде:

C = AQ² +BQ + f, (8)

обозначив A =aw

Пользуясь формулами (3) и (4) запишем функцию прибыли следующим образом:

I(Q) = PQ - AQ² - BQ - f (9)

Нашей целью было нахождение оптимального объема выпускаемой фирмой продукции для получения максимальной прибыли. Для этого продифференцируем составленную нами функцию прибыли по объему производства Q и приравняем эту производную к нулю:

I^’(Q) = -2AQ + (P-B) = 0

-2AQ = -(P-B)

(10)

Мы нашли выпуск, который соответствует максимальной прибыли.

Теперь найдем формулу вычисления максимальной прибыли. Для этого подставим найденное значение оптимального объема продукции в исходную функцию прибыли:

И получим:

(11)

Таким образом, мы нашли оптимальный объем продукции, который следует выпускать предпринимателю, чтобы получить максимальную прибыль, а также формулу расчета этой самой максимальной прибыли.

Графическое отображение рассматриваемых функций представлено на рис. 4.

Рис. 4. Функции предложения, издержек и прибыли фирмы

Следовательно, несмотря на существенное упрощение рассматриваемого процесса, модель однопродуктовой фирмы отражает очевидный факт:

в условиях совершенной конкуренции рост цен на рынке товаров (при прочих неизменных условиях) стимулирует предпринимательскую активность, в результате чего объем предложения растет.