Примеры.
№1.
Найти при каких
он сходится и при каких
расходится.
Решение:
·
А) Исследуем
на сходимость. Применим
=
=
понимая, что
.
Пусть
,
тогда:
=
,
если
.
=
,
если
Первый ответ
получен так: если
,
то
и если
,
то
,
а дробь
.
Второй ответ
объясняется так: если
,
то
,
а
.
Тогда
,
когда
,
т.е. величина
- бесконечно малая. Поэтому величина
,
которая нас интересует, - величина
бесконечно большая.
Осталось рассмотреть
случай
:
=
,
следовательно
, если , интеграл сходится.
=
,
если
,
интеграл расходится.
Исследуем на
сходимость интеграл
.
Особенность интеграла в том, что при
функция неопределенна в левом
конце промежутка в (.) О и стремится к
бесконечности при
.
Применив формулу Ньютона – Лейбница, получим:
=
,
т.к.
.
=
=
,
если , интеграл сходится.
Т. о.
,
если
,
интеграл расходится.
№2. Исследуем
на сходимость интеграл:
.
Решение:
- сходится.
№3. Исследуем на сходимость интегралы:
I.
II.
Р
ешение:
,
если
Интеграл
=
,
если
При
,
т.к.
при
,
а при
.
Заключение:
,
при
- сходится
, при - расходится.
= сводится к первому интегралу подстановкой:
(Доказать
самостоятельно).
№4. А)
=
Пусть
.
сходится,
,
т.к.
=
расходится,
,
т.к.
П
усть
.
-
расходится, т.к.
.
сходится, .
Т. о.
расходится, .
сходится, .
В)
расходится, .
Аналогично А. Сделать самостоятельно.
№5. Исследовать
на сходимость:
Решение:
=
(правило Лопиталя) =
=
.
Т.к.
расходится, то наш интеграл также
расходится.
№6. Исследовать
на сходимость:
.
Решение:
=
=
этот
предел не стремится ни к какому пределу,
следовательно, интеграл расходится.
Замечание.
если
,
интеграл сходится.
Если интеграл
=
если
,
интеграл расходится.
- интеграл сходится.
№7. Исследовать
на сходимость интеграл:
.
Решение:
Очевидно, что интеграл расходится, т.к.
не существует ни
,
ни
.
Главное значение существует:
№8.
Найти главное значение
.
Решение:
Н. И. как мы видели выше, не существует. Тем не менее у него есть главное значение:
Здесь с=0.
Главное значение есть, а интеграл не существует.
№9.
Вычислить интеграл
.
Решение:
Положим
.
.
.
Мы получили несобственный интеграл,
который легко вычисляется следующим
образом:
=
.
№10.
Вычислить несобственный интеграл:
.
Решение:
Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях «x» и, следовательно, имеем первообразную:
По определению имеем:
.
№11. Вычислить
несобственный интеграл:
.
Оба предела интегрирования бесконечны, поэтому предварительно разобьем данный интеграл на два:
=
+
+
=
-
-
.
№12. Сходится
ли несобственный интеграл:
.
Решение:
=
.
Применяем правило интегрирования по
частям, полагая:
=
+
=
.
Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
№13. Вычислить
несобственный интеграл:
.
Решение:
Преобразуем интеграл следующим образом:
В интеграле
подынтегральная функция непрерывна на
промежутке
,
поэтому его можно вычислить по формуле
Ньютона – Лейбница:
=
Интеграл
-
несобственный, т.к подынтегральная
функция
при
.
По определению имеем:
=
.
Окончательно
.
№14. Вычислить
несобственный интеграл:
.
Решение:
Преобразуем:
.
Интеграл
вычисляется
по формуле Ньютона – Лейбница, т.к.
подынтегральная функция непрерывна.
=
.
Интеграл
следует
представить в виде суммы двух интегралов
(ибо (.) разрыва x=0
лежит внутри
промежутка интегрирования).
=
+
=
3+3 = 6.
Итак,
.
№15. Исследовать
на сходимость:
.
Решение:
Сравним подынтегральную
функцию с
.
Подберем
такое, чтобы
был
конечен и отличен от «0».
Если
интеграл
сходится.
№16. Исследовать
на сходимость:
.
Решение:
=
.
x=1-
особая
точка.
интеграл
расходится.
№17.
Вычислить
.
Решение:
Согласно определению:
=
.
№18. Вычислить
.
Решение:
=
=
Можно было бы вести записи так:
=
.
№19. Вычислить
.
Решение:
Знаменатель
обращается в ноль в точках x=1
и x=2.
Пусть
-
любое фиксированное. По определению:
=
+
+
+
+
=
.
№20. Рассмотрим
интеграл Дирихле:
.
Решение:
Заметим, что в силу
.
Поэтому
=
.
Положим
,
тогда
.
По признаку Дирихле
Н. И.
сходится, но тогда сходится и интеграл
Дирихле.
