Абсолютно сходящиеся интегралы

df.1 Пусть , несобственный интеграл

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл

(2)

Если интеграл (1) сходится, а интеграл (2) расходится, то (1) называется условно сходящимся.

Аналогичные определения можно дать для других типов Н.И.

df.2 Пусть . Н. И. называется абсолютно сходящимся, если сходится Н. И. .

Th.6 О сходимости абсолютно сходящегося Н. И.

Пусть (или ) и Н. И. (или ) сходятся абсолютно. Тогда этот интеграл сходится.

Доказательство:

Пусть, например, (случай рассмотреть самостоятельно) и Н. И. сходится абсолютно. По условию - сходится (по Критерию Коши)

. Из оценки для : выполняется

Критерий Коши. А это значит - сходится.

Th.7 Признак Дирихле.

Пусть , а и выполняются следующие условия:

а) функция (первообразная для f ),

ограничена на (1), т.е. .

б) функция - монотонна, не меняет знака на ,

т.е. (2)

(3)

с) (4)

Тогда интеграл (5) – сходится.

Доказательство:

Покажем, что функция f ·g – удовлетворяет на условию Коши: т.е.

.

Согласно формуле интегрирования по частям для получаем

- (6)

Из условия (1) , что (7)

(8)

Заметим, что - если выполнено условие (2) и - если выполнено условие (3).

Поэтому для первого случая:

а во втором случае:

(9)

Поэтому из равенства (6) , используя оценки (7) и (9), получаем неравенство:

(10)

Согласно условию (4), что : (11)

Поэтому для из (10) и (11) следует, что , т.е. функция f ·g удовлетворяет на условию Коши и по Th. для сходимости Н. И. чтобы выполнялось условие Коши, т.е.

. Следовательно, наш Н. И. (5) – сходится.

Следствие. (Признак Абеля)

Если а) ;

б) - сходится;

в) (т. е. выполняются условия ограниченности и монотонности (2) и (3) Th.7).

То интеграл - сходится.

Доказательство:

По Th. о пределе монотонной функции существует конечный предел

, и поэтому функция - монотонно стремится к нулю при . Из условия б) , что f имеет ограниченную первообразную . По Th.7 интеграл от функции на сходится. Т.к. , то интеграл

- сходится.

Замечание.

Признаки Дирихле и Абеля являются достаточными. Поэтому, если их условия не выполняются, то ничего нельзя сказать о сходимости интеграла.

§ 10.4 Главное значение расходящегося несобственного интеграла

Пусть и - расходится.

df.1 Пусть f(x) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке . Тогда главным значением интеграла называют конечный предел и обозначают:

(V.p. – начальные буквы французских слов valeur principal – главное значение).

Определенное таким образом главное значение отличается от определения несобственного интеграла тем, что в последнем = , переменные независимо друг от друга стремятся к и , соответственно.

Очевидно, что в случае сходимости Н. И. его главное значение тем более существует и совпадает с ним. Поэтому главное значение имеет смысл рассматривать для расходящихся интегралов.

df.2 Пусть \ .

- неограниченная в (.) c.

Тогда главным значением Н. И. называют конечный предел

Для практического использования признаков сходимости необходимо иметь «эталонные» интегралы, т.е. интегралы, о сходимости которых известно.