§ 10.2 Свойства несобственных интегралов.
Многие из них (однако, не все) аналогичны свойствам определенного интеграла.
.
Формула
Ньютона – Лейбница.
Пусть f(x)
и
F(x)-
первообразная f(x)
на
,
тогда :
При этом под F(в) понимается:
или
Доказательство:
Т. к.
,
то
по формуле Ньютона – Лейбница на
:
2
.
Линейность.
Пусть
:
и
(1)
Доказательство:
Из сходимости
:
.
Переходим в
последнем равенстве к пределу при
или
,
т.к.
пределы в правой части, то
пределы левой части
равенство
(1).
3 . Интегрирование неравенств.
Пусть
и
,
тогда
.
4 . Интегрирование по частям.
Пусть:
1.
2. Пара из трех
функций
интегрируема
на
интегрируема
и третья пара и справедливо неравенство:
-
(1)
При этом входящие в (1) выражения понимаются в несобственном смысле.
(Свойства 3 и 4 доказать самостоятельно).
5 . Замена переменной в н. И.
Пусть:
1. .
2.
.
3.
,
.
Тогда
,
причем оба интеграла сходятся или
расходятся одновременно. (Без
доказательства).
Отметим, что, используя свойство 5, можно показать, что всегда от интеграла с бесконечным пределом можно перейти к интегралу от неограниченной функции и наоборот.
Пусть, например,
.
Сделаем замену
;
при x=a, t=0;
при x=в-0, t= ;
,
тогда
.
Поэтому далее в основном будем рассматривать интегралы вида:
.
6 . Аддитивность н. И.
(от латинского additivus – прибавляемый, свойство величин).
Пусть
,
тогда
и
.
Доказательство:
Пусть
:
=(предел слева
предел
справа) =
.
§ 10.3 Признаки сходимости н. И.
Будем рассматривать
интегралы вида:
.
Обозначим
и назовем его частным интегралом, а
-
остатком.
Th.1
1)
и
конечен.
2)
.
Причем условия 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство:
Условие 1 следует
из определения
.
В силу аддитивности:
.
Переходя к пределу
при
получим
.
Следствие.
Очевидно, что
- первообразная для функции f(x)
на
,
т.о.
,
что также
из
обобщения формулы Ньютона – Лейбница.
Следовательно, простейшим способом установления сходимости несобственного интеграла является вычисление его по формуле Ньютона – Лейбница:
Однако, не всегда
возможно найти
или нахождение ее громоздко.
В этом случае используются признаки сходимости, о которых будет идти речь ниже.
Th.2 Критерий Коши.
.
Доказательство:
В силу Th.1
,
но по критерию Коши существования
конечного предела
(смотри
I
семестр):
:
.
(Необходимо полагать
,
т.к.
ограничена
на
).
Но
.
●Достаточно
эффективных при практическом использовании
признаков (теорем) сходимости н.и. от
произвольных функций не существует.
Поэтому далее ограничимся только случаем
неотрицательных функций, т.е.
.
Отметим при это,
что
по
свойству линейности.
Т.о. все результаты,
полученные для неотрицательных функций
могут быть перенесены на неположительные
функции (
)
с небольшими изменениями.
Th.3 Необходимое и достаточное условия сходимости для
неотрицательных функций.
Пусть
Тогда
частичный интеграл
будет
ограничен на
.
Доказательство:
Покажем, что
на
(
-монотонно
возрастает). Действительно, пусть
.
Очевидно,
,
т.к.
.
Но из I семестра известно:
Пусть
на
,
тогда
-
ограничена на
.
Дополнительно
получим: 
Но по Th.1
Рассмотрим два интеграла:
1)
(1)
2)
(2)
Th.4 Признак сравнения.
Пусть: a)
.
б)
.
Тогда: а) из сходимости (2) сходимость (1)
б) из расходимости (1) расходимость (2).
Доказательство:
П
усть
(2) сходится
-
ограничена на
и
Пусть
очевидно
:
.
Т.о. - ограничена на (1) сходится.
Аналогично: (1)
расходится
на
-
неограниченна
- неограниченна
(2)
расходится.
Следствие.
Th.4
окажется в силе, если условие б) выполняется
,
т.е
,
или
.
Действительно,
,
1-ое слагаемое постоянно и не влияет на
сходимость.
Th.5 Признак сравнения в предельной форме.
Пусть: а) .
б)
.
в)
.
Тогда: Интеграл (2) сходится (1) сходится.
Интеграл (1) расходится (2) расходится.
Доказательство:
Т.к.
или
,т.к
g(x)
- рассмотрим это
неравенство.
Обозначив
,
т.к
,
т.о.
,
т.к.
по Th.4
сходимость
.
Аналогично рассматривается расходимость.
Следствие 1.
При условиях Th.5
а) и б), и замене в) на
(1) и
(2) сходятся
иди расходятся одновременно.
Доказательство:
Для доказательства
достаточно учесть, что т.к.
по Th.5: сходимость (1) сходимость (2), расходится (2) расходится (1).
Итак, сходится
(1)
сходится
(2), расходится
(2)
расходится
(1).
Следствие 2.
Если
(эквивалентны)
при
,
то (1)
и (2) сходятся
или расходятся одновременно. Это частный
случай следствия 1, т.е при l=1.
Замечание.
Аналогичные признаки сравнения можно сформулировать для других типов Н. И.
Нужно только в
Th.4
потребовать выполнение неравенства на
соответствующем интервале
.
В Th.5
предел при
нужно заменить на
или
.