2.2. Точечные оценки параметров распределения
При изготовлении каких-либо деталей при конструировании РЭС необходимо знать, удовлетворяют ли 'их параметры требованиям технологической точности. Для этого и служит оценка, которая характеризует истинное значение параметра в некоторой точке (точечная оценка) либо в интервале (доверительная оценка).
Оценкой
случайной
величины Х по объему выборки n
называется однозначно
определенная
функция результатов наблюдении над
этом случайной величиной, и
можно записать:
4
Критические значения отношения G при доверительных вероятностях 0,95 и 0,99.
Таблица П6.
|
Результаты измерений |
||||||||
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
16 |
36 |
144 |
|
|
5 |
0,544 |
0,507 |
0,478 |
0,439 |
0,412 |
0,365 |
0,307 |
0,251 |
0,2 |
0,633 |
0,566 |
0,553 |
0,504 |
0,47 |
0,409 |
0,335 |
0,264 |
0,2 |
|
6 |
0,48 |
0,445 |
0,418 |
0,382 |
0,357 |
0,314 |
0,261 |
0,212 |
0,167 |
0,564 |
0,52 |
0,487 |
0,44 |
0,408 |
0,353 |
0,286 |
0,223 |
0,167 |
|
7 |
0,431 |
0,397 |
0,373 |
0,338 |
0,315 |
0,276 |
0,228 |
0,183 |
0,143 |
0,508 |
0,466 |
0,435 |
0,391 |
0,362 |
0,311 |
0,249 |
0,193 |
0,143 |
|
8 |
0,391 |
0,36 |
0,336 |
0,304 |
0,283 |
0,246 |
0,202 |
0,162 |
0,125 |
0,463 |
0,427 |
0,393 |
0,352 |
0,325 |
0,278 |
0,221 |
0,17 |
0,125 |
|
9 |
0,358 |
0,329 |
0,307 |
0,277 |
0,257 |
0,223 |
0,182 |
0,145 |
0,111 |
0,463 |
0,427 |
0,393 |
0,352 |
0,325 |
0,278 |
0,221 |
0,17 |
0,125 |
|
10 |
0,331 |
0,303 |
0,282 |
0,254 |
0,235 |
0,203 |
0,166 |
0,131 |
0,1 |
0,393 |
0,357 |
0,331 |
0,295 |
0,27 |
0,23 |
0,181 |
0,138 |
0,1 |
|
15 |
0,242 |
0,22 |
0,203 |
0,182 |
0,167 |
0,143 |
0,114 |
0,089 |
0,067 |
0,288 |
0,259 |
0,239 |
0,21 |
0,192 |
0,161 |
0,125 |
0,093 |
0,067 |
|
20 |
0,192 |
0,174 |
0,16 |
0,142 |
0,13 |
0,111 |
0,088 |
0,068 |
0,05 |
0,229 |
0,205 |
0,188 |
0,165 |
0,15 |
0,125 |
0,096 |
0,071 |
0,05 |
|
30 |
0,138 |
0,124 |
0,114 |
0,1 |
0,092 |
0,077 |
0,06 |
0,046 |
0,033 |
0,164 |
0,145 |
0,133 |
0,116 |
0,105 |
0,087 |
0,066 |
0,048 |
0,033 |
|
40 |
0,108 |
0,097 |
0,089 |
0,078 |
0,071 |
0,06 |
0,046 |
0,035 |
0,025 |
0,128 |
0,114 |
0,103 |
0,09 |
0,082 |
0,067 |
0,05 |
0,036 |
0,025 |
|
60 |
0,077 |
0,068 |
0,062 |
0,055 |
0,05 |
0,041 |
0,041 |
0,032 |
0,017 |
0,09 |
0,08 |
0,072 |
0,063 |
0,057 |
0,046 |
0,034 |
0,025 |
0,017 |
|
120 |
0,042 |
0,037 |
0,034 |
0,029 |
0,027 |
0,022 |
0,017 |
0,012 |
0,008 |
0,049 |
0,043 |
0,039 |
0,033 |
0,03 |
0,024 |
0,018 |
0,013 |
0,008 |
|
32
В практике обработки статистических данных оценивают математическое ожидание, и дисперсию случайной величины X. Математическое ожидание - это центр группирования случайной величины и в общем случае определяется выражением
,
где f(x) - плотность распределения случайной величины.
Дисперсия - это отклонение случайной величины от ее математического ожидания, определяется выражением
,
Чтобы приблизить с достаточной
точностью значение случайной оценочной
функции
к
истинному значению параметра, эта
функция должна по возможности обладать
следующими свойствами: состоятельностью,
несмещенностью и эффективностью.
Оценка
называется состоятельной,
если с увеличением п
- объема
выборки она приближается (сходится по
вероятности) к оцениваемому параметру
.
Несмещенной называется такая оценка, математическое ожидание от которого равно оцениваемому параметру: М[ ] = , т. е. она контролирует наличие систематической ошибки.
Эффективной оценкой называется такая несмещенная оценка, которая имеет наименьшую дисперсию всех несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема.
Несмещенной и состоятельной
оценкой математического
ожидания μ случайной величины X
является арифметическое
среднее
, вычисленное по n
независимым
наблюдениям над этой случайной величиной.
,
где
- результат i-го
наблюдения.
Эффективность этой оценки
зависит от вида закона распределения
случайной величины X.
Если случайная величина
распределена по нормальному закону
(рис.1) с параметрами μ,
плотность
нормального закона распределения
,
то среднее арифметическое
Х
имеет минимальную дисперсию, равную
,
и является эффективной оценкой
математического ожидания μ.
5
f(x)
μ-σ μ μ+σ x
Рис. 1
Состоятельная оценка дисперсии определяется выражением:
.
(2)
Состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии является оценка:
.
(3)
Сравнивая оценки
и
получаем:
, (4)
величину
называют
поправкой Бесселя, а оценку
- исправленной
выборочной дисперсией. Введение поправки Бесселя существенно лишь для малого объема выборки.
Оценка не является эффективной, но с увеличением при нормальном законе распределения отношение ее дисперсии к минимально возможной приближается к единице и ее можно считать "асимптотически эффективной".
Состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой дисперсии является:
,
(5)
где μ - математическое ожидание случайной величины X. Из трех рассмотренных оценок дисперсии наиболее употребительна в практических расчетах
оценка (3), так как μ обычно неизвестно, и в этих условиях она предпочтительнее оценки Δ (2).
6
|
8 |
9 |
10 |
11 |
16 |
20 |
|
1 |
239 |
241 |
242 |
243 |
246 |
248 |
254 |
5981 |
6022 |
6056 |
6082 |
6169 |
6234 |
6366 |
|
2 |
19.37 |
19.38 |
19.39 |
19.4 |
19.43 |
19.44 |
19.5 |
99.36 |
99.38 |
99.4 |
99.41 |
99.44 |
99.45 |
99.5 |
|
3 |
8.84 |
8.81 |
8.78 |
8.76 |
8.69 |
8.66 |
8.53 |
17.49 |
27.34 |
27.23 |
27.13 |
26.83 |
26.69 |
26.12 |
|
4 |
6.04 |
6 |
5.96 |
5.93 |
5.84 |
5.8 |
5.63 |
14.8 |
14.66 |
14.54 |
14.45 |
14.15 |
14.02 |
13.46 |
|
5 |
4.82 |
4.78 |
4.74 |
4.7 |
4.6 |
4.56 |
4.36 |
10.27 |
10.15 |
10.05 |
9.96 |
9.68 |
9.55 |
9.02 |
|
6 |
4.15 |
4.1 |
4.06 |
4.03 |
3.92 |
3.87 |
3.67 |
8.1 |
7.98 |
7.87 |
7.79 |
7.52 |
7.39 |
6.88 |
|
7 |
3.73 |
3.68 |
3.63 |
3.6 |
3.49 |
3.44 |
3.23 |
6.84 |
6.71 |
6.62 |
6.54 |
6.27 |
6.15 |
6.65 |
|
8 |
3.44 |
3.39 |
3.34 |
3.31 |
3.2 |
3.15 |
2.93 |
6.03 |
5.91 |
5.82 |
5.74 |
5.48 |
5.36 |
4.86 |
|
9 |
3.23 |
3.18 |
3.13 |
3.1 |
2.98 |
2.93 |
2,71 |
5.47 |
5.35 |
5.26 |
5.18 |
4.92 |
4.8 |
4.31 |
|
10 |
3.07 |
3.02 |
2.97 |
2.94 |
2.82 |
3.77 |
2.54 |
5.06 |
4.95 |
4.85 |
4.78 |
4.52 |
4.41 |
3.91 |
|
11 |
2.95 |
2.9 |
2.86 |
2.82 |
2.7 |
2.65 |
2.4 |
4.74 |
4.63 |
4.54 |
4.46 |
4.21 |
4.1 |
3.6 |
|
12 |
2.85 |
2.8 |
2.76 |
2.72 |
2.6 |
2.54 |
2.3 |
4.5 |
4.39 |
4.3 |
4.22 |
3.98 |
3.86 |
3.36 |
|
16 |
2.59 |
2.54 |
2.49 |
2.45 |
2.33 |
2.28 |
2.01 |
3.89 |
3.78 |
3.49 |
3.61 |
3.37 |
3.25 |
2.75 |
|
20 |
2.45 |
2.4 |
2.35 |
2.31 |
2.18 |
2.12 |
1.84 |
3.56 |
3.45 |
3.37 |
3.3 |
3.05 |
2.94 |
2.42 |
|
|
1.94 |
1.88 |
1.83 |
1.79 |
1.64 |
1.57 |
1 |
2.15 |
2.41 |
2.32 |
2.24 |
1.99 |
1.87 |
1.09 |
31
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
4052 |
4999 |
5403 |
5625 |
5764 |
5889 |
5928 |
|
2 |
18.51 |
19 |
19.16 |
19.25 |
19.3 |
19.33 |
19.36 |
98.49 |
99.01 |
99.17 |
99.25 |
99.3 |
99.33 |
99.34 |
|
3 |
10.13 |
9.55 |
9.28 |
9.12 |
9.01 |
8.94 |
8.88 |
34.12 |
30.81 |
29.46 |
28.71 |
28.24 |
27.91 |
27.67 |
|
4 |
7,71 |
6.94 |
6.59 |
6.39 |
6.26 |
6.16 |
6.09 |
21.2 |
18 |
16.59 |
15.98 |
15.52 |
15.21 |
14.98 |
|
5 |
6.61 |
5.79 |
5.41 |
5.19 |
5.05 |
4.95 |
4.88 |
16.26 |
13.27 |
12.06 |
11.39 |
10.97 |
10.67 |
10.45 |
|
6 |
5,99 |
5.14 |
4.76 |
4.53 |
4.39 |
4.28 |
4.21 |
13.74 |
10.92 |
9.78 |
9.15 |
8.75 |
8.49 |
8.26 |
|
7 |
5.59 |
4.74 |
4.35 |
4.12 |
3.97 |
3.87 |
3.79 |
12.25 |
9.55 |
8.45 |
7.85 |
7.46 |
7.19 |
7 |
|
8 |
5.32 |
4.46 |
4.07 |
3.84 |
3.69 |
3.58 |
3.5 |
11.26 |
8.65 |
7.59 |
7,01 |
6.63 |
6.37 |
6.19 |
|
9 |
5.12 |
4.26 |
3.86 |
3.63 |
3,48 |
3.37 |
3.28 |
10.56 |
8.02 |
6.99 |
6,42 |
6.06 |
5.8 |
5.62 |
|
10 |
4.96. |
4.1 |
3.71 |
3.48 |
3.33 |
3.22 |
3.14 |
10.04 |
7.56 |
6.55 |
5.99 |
5.64 |
5.39 |
5.21 |
|
11 |
4.84 |
3.98 |
3.59 |
3.36 |
3.2 |
3.09 |
3.01 |
9.85 |
7.2 |
6.22 |
5.67 |
5.32 |
5.07 |
4.88 |
|
12 |
4.75 |
3,88 |
3.49 |
3.26 |
3.11 |
3 |
2.92 |
9.33 |
6.93 |
5.95 |
5.41 |
5.06 |
4.82 |
4.65 |
|
16 |
4.49 |
3.63 |
3.24 |
3.01 |
2.85 |
2.74 |
2.66 |
8.53 |
6.23 |
5.29 |
4.77 |
4.44 |
4.2 |
4.03 |
|
20 |
4.35 |
3.49 |
3.1 |
2.87 |
2.71 |
2.6 |
2.52 |
8.1 |
5.85 |
4.94 |
4.43 |
4.1 |
3.87 |
3.71 |
|
|
3.84 |
2.99 |
2.6 |
2.37 |
2.21 |
2.09 |
2.01 |
6.64 |
4.6 |
3.78 |
3.32 |
3.02 |
2.8 |
2.64 |
30
Среднее квадратическое отклонение σ как характеристика меры рассеяния случайной величины Х относительно математического ожидания не менее час
используется на практике, чем дисперсия
σ
. Удобство этой характеристики заключается
в том, что ее размерность равна размерности
самой случайной
величины X.
Несмещенная и состоятельная оценка среднеквадратического отклонения с
учетом (3) имеет вид:
. (6)