Символы граней

Взаимное расположение граней кристаллов в пространстве определяется с помощью символов.

Метод определения символов основывается на

Законе целых чисел (закон Гауи):

Двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел.

Закон Гауи отражает соответствие внешней формы кристалла строению его кристаллической решетки, так как грани кристаллов параллельны плоским сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью материальных частиц (ретикулярная плотность).

Тип кристаллической решетки определяется формой ее элементарной ячейки - величиной элементарных отрезков a₀, b₀, c₀, и углов между ними , , , называемых осевыми углами (рис. 8).

Рис. 8. Элементарная ячейка кристаллической решетки.

С направлениями a, b, c совместим положение пространственных координатных осей XYZ, называемых кристаллографическими.

Ось X располагается горизонтально, ее направление от начала координат к наблюдателю считается положительным, а от наблюдателя - отрицательным.

Ось Y располагается горизонтально, ее направление вправо от начала координат считается положительным, влево - отрицательным.

Ось Z располагается вертикально, ее направление вверх от начала координат считается положительным, вниз - отрицательным.

Плоская сетка, проходящая через точки AC’B пересекает все три координатные оси, отсекая на них элементарные отрезки a₀, b₀, c₀. Относительно ее положения в пространстве определяется положение всех других плоских сеток и параллельных им граней кристалла.

В качестве примера определения относительного пространственного положения плоских сеток рассмотрим две смежные элементарные ячейки кристалла (рис. 9).

B”

D”

B’

D’

Y

A’

а₀

Z

с₀

b₀

X

C”

C’

A”

B

С

A

D

Рис. 9. Две смежные элементарные ячейки кристаллической решетки (ABCDA’B’C’D’ и A”B”C”D”A’B’C’D’).

Положение в пространстве плоской сетки AC’B определяется отношением элементарных отрезков:

a₀ : b₀ : c₀

Положение в пространстве плоской сетки AC”B аналогично определяется отношением:

a₀ : b₀ : 2c₀

Положение в пространстве плоской сетки AC”B относительно плоской сетки AC’B определяется отношением:

a₀/a₀ : b₀/b₀ : 2c₀/c₀ = 1:1:2/1

Возьмем отношение обратное полученному:

1:1:1/2

Это необходимо потому, что в случаях, когда плоская сетка располагается параллельно координатной оси, ее параметр (отрезок) по этой оси равен бесконечности - (), то есть неопределенной величине, с которой нельзя производить никаких математических преобразований. Обратная же величина будет равна нулю - (1/ =0).

Приведя это выражение к общему знаменателю, получим двойное отношение параметров (отрезков) согласно закону Гауи:

2:2:1

Для грани кристалла параллельной плоской сетке AC”B последнее выражение называется символом и записывается в виде:

(221)

Отдельное численное значение в символе называется индексом.

Положение в пространстве всех граней кристалла сравнивается с положением единичной грани, которая параллельна плоской сетке, отсекающей элементарные отрезки на всех трех координатных осях - XYZ. В рассмотренном примере это плоская сетка AC’B.

Масштабом измерения для реальных кристаллов обычно являются не расстояния между узлами кристаллической решетки (элементарные отрезки), а единичные отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях единичной гранью.

Величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков.

Практически для определения символов граней на моделях кристаллов необходимо:

1 - выбрать направления координатных осей - обычно они параллельны ребрам кристалла и часто совпадают с осями симметрии;

2 - поместить начало координат в центре симметрии (или в центре тяжести) кристалла;

3 - выбрать единичную грань и, продолжив ее плоскость до пересечения со всеми координатными осями, определить масштаб измерения по ним - единичные отрезки;

4 - определить параметры - отрезки, отсекаемые другими гранями кристалла на координатных осях;

5 - определить их отношения к единичным отрезкам;

6 - взяв обратные значения этих отношений, приведя их к общему знаменателю и упростив - определить индексы и символ грани.

Рассмотрим пример определения символов грани (рис. 10).

ACBED - часть кристалла, ограниченная гранями ACB и ABED.

Из точки О, совпадающей с центром тяжести кристалла, как из начала координат проведем координатные оси X, Y, Z.

Рис. 10. Определение символов граней.

Выберем грань АВС за единичную, мысленно (или с помощью листа бумаги) продолжим плоскость грани до пересечения со всеми координатными осями.

Отрезки ОА’, OB’, OC являются единичными. Соответственно символ грани АВС (111).

Поскольку величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков, по каждой из осей выберем такой масштаб измерения (a, b, c), при котором длины единичных отрезков измерялись бы целыми числами.

Продолжим плоскость грани АВED до пересечения с осями.

Отношения параметров - отрезков OD, OE, OC’ к единичным составляют:

OD/OA’ =2а/3а; OE/OB’=2b/4b; OC’/OC=4c/2c

Их отношения между собой после упрощения составят:

2/3:1/2:2/1

Обратные им величины соответственно равны:

3/2:2/1:1/2

Приведем к общему знаменателю и, упростив выражение, получим:

3:4:1

Запишем символ грани АВED:

(341)

При определении символов граней необходимо помнить следующее:

1 - чем больше отрезок, отсекаемый гранью на оси по сравнению с единичным, тем меньше индекс;

2 - грань, параллельная одной из координатных осей, имеет в символе по этой оси ноль, например, для грани параллельной оси Z - (210);

3 - если грань пересекает только одну координатную ось (например Z) и параллельна двум другим - X и Y, ее символ имеет вид (001); грань, пересекающая только ось Y, имеет символ (010), пересекающая только ось X - (100);

4 - грани одинакового вида и одинаково ориентированные в пространстве относительно выбранных осей координат имеют символы, отличающиеся друг от друга только знаком, например, (111) и (111), или порядком расположения индексов, например, (123) и (321).

Для выбора координатных осей и единичной грани существуют правила установки кристалла, которые будут изложены в дальнейшем.

Чтобы приобрести навыки в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4 - 5 моделях кристаллов разного вида.

РАБОТА 4