Стереографические проекции

Изображение кристалла в виде рисунка часто нецелесообразно, поскольку в процессе роста кристаллов могут существенно меняться размеры и форма граней, постоянными остаются только углы между гранями, что отражает важнейшее свойство кристаллов.

Закон постоянства углов

Углы между соответственными гранями и ребрами кристаллов данного вещества постоянны.

Закон постоянства углов позволяет изображать кристаллы на плоскости в виде проекций, сведя все многообразие форм к совокупности углов между гранями или углов между нормалями к граням.

Наиболее часто применяются стереографические проекции.

Проекции граней.

Теоретически построение стереографической проекции граней кристалла выполняется следующим образом:

1. Из центра симметрии или центра тяжести кристалла описывается сфера произвольного радиуса (рис. 3).

2. Из центра сферы на грани (A, B, C, D, E, K) или их продолжения восстанавливают перпендикуляры (нормали) и продолжают их до пересечения со сферой. Точки пересечения (a’, b’, c’, d’, e’, k’) называются полюсами граней.

3. Через центр сферы проводится горизонтальная плоскость, которая является плоскостью проекции; ее часть, ограниченная сферой, называется кругом проекции.

4. Полюса граней соединяются прямыми линиями с южным S (a’, b’, e’, k’) или северным N (c’, d’) полюсами сферы.

5. Точки пересечения этих линий с кругом проекции (a, b, c, d, e, k) являются проекциями соответствующих (A, B, C, D, E, K) граней кристалла.

Проекции граней, полюса которых расположены в верхней (северной) полусфере (включая попадающие на экватор), обозначаются кружочком.

Проекции граней, полюса которых расположены в нижней (южной) полусфере, обозначаются крестиком.

S

C

b’

b

a

c

k

d

e’

e

k’

N

a’

K

A

E

B

D

d’

c’

плоскость проекции

Рис. 3. Схема проектирования граней кристалла на плоскость

(вид сбоку)

Практически проектируя кристалл, мысленно описываем вокруг него сферу. Горизонтальная плоскость проекции проходит через центр симметрии, а в случае его отсутствия через центр тяжести. Чертим круг проекций. Далее определяем положение проекций граней, исходя из следующих правил:

- проекции горизонтальных граней всегда находятся в центре круга проекций.

- проекции вертикальных граней всегда находятся на окружности круга проекций.

- проекции наклонных граней находятся внутри круга проекций на направлении перпендикуляра, восстановленного из центра сферы к плоскости грани.

Положение проекций наклонных граней оценивается приблизительно, исходя из того что, чем положе грань, тем ближе ее проекция к центру; чем круче - тем ближе ее проекция к окружности.

На рисунке 4б показана стереографическая проекция двух видов граней кристалла золота.

а

б

Рис. 4. Внешний вид кристалла золота (а) и проекция его граней (б)

Проекции осей симметрии.

Д ля обозначения осей симметрии используются следующие условные значки L₂ - ; L₃ - ; L₄ - ; L₆ - .

Теоретически для нахождения проекции оси симметрии, ее продолжают в обе стороны до пересечения со сферой в двух точках. Затем эти точки соединяют с южным и северным полюсами сферы. При этом на плоскости проекции получают точки, которые и будут являться проекцией оси.

Практически, определяя проекции осей, надо учитывать следующие правила:

- проекция вертикальных осей располагается в центре круга проекций;

- проекция горизонтальных осей изображается на круге проекций в двух диаметрально противоположных точках;

- проекция наклонных осей располагается внутри круга проекций, аналогично проекции наклонных граней. Обозначается проекция только верхнего конца оси.

Кристалл золота (см. рис. 4а), проекция граней которого дана на рисунке 4б, имеет такие элементы симметрии 3L₄, 4L₃, 6L₂, 9Р, С.

Одна из осей четвертого порядка (L₄ ) в кристалле вертикальна и ее проекция (рис. 5) располагается в центре круга проекции; две другие L₄ - горизонтальны, их проекции - на окружности.

Оси симметрии третьего порядка (L₃) наклонные и поэтому их проекции располагаются посередине между центром и окружностью.

Две из осей второго порядка - горизонтальны, а четыре - наклонные. Они проектируются аналогично осям L₄ и L_3.

Рис. 5. Проекция осей симметрии кристалла золота.

Проекции плоскостей симметрии.

Проекции плоскостей симметрии обозначаются двойной линией.

Если продолжить плоскость симметрии до пересечения со сферой, то получим окружность. Проектируя каждую точку этой окружности аналогично полюсам граней, получим проекцию плоскости симметрии. Для наклонных и вертикальных плоскостей симметрии принято изображать проекции точек только верхней полуокружности.

Проектируя плоскости симметрии надо учитывать следующие правила:

- проекции вертикальных плоскостей представляют собой прямые линии и совпадают с диаметрами круга проекции;

- проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью круга проекции;

- проекции наклонных плоскостей представляют собой дуги, опирающиеся на концы диаметра круга проекции.

Проектируя плоскости симметрии (особенно наклонные), необходимо обратить внимание на то, какие элементы симметрии данного кристалла они включают, через какие грани они проходят.

В кристалле золота (см. рис. 4а) вертикальных плоскостей - четыре. Они изображаются (рис. 6) диаметральными прямыми. Проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью. Проекции четырех наклонных плоскостей представлены дугами.

Рис. 6. Проекция плоскостей симметрии кристалла золота.

Проекция центра симметрии обозначается С и располагается в центре круга проекции (рис. 7).

Рис. 7. Полная стереографическая проекция кристалла золота.

Для закрепления навыков необходимо спроектировать на плоскости 5-10 моделей или рисунков кристаллов, изображенных в методическом пособии по геометрической кристаллографии (Князев В.С., Кононова И.Б., Постников А.В.), которое можно получить на кафедре литологии.

РАБОТА 3