2. Означення похідної та її зміст

Нехай функція y = f (x) визначена і неперервна у деякому про­міжку [a, b], і нехай значення x та x + x належать до цього проміжку.

Означення. Похідною функції y = f (x) в точці x називається границя відношення приросту функції y = f (x) в цій точці до при­росту аргументу x, що викликав цей приріст, якщо x прямує до нуля і ця границя існує.

Для позначення похідної функції y = f (x) використовують різні символи:

.

Отже, за означенням

. (3)

Фізичний зміст похідної.

Нехай s = s(t) – рівняння прямолінійного руху. Швидкість v(t) прямолінійного руху в момент t є похідна пройденого шляху s(t) по часу t, тобто

(задача I, формула (1)).

Геометричний зміст похідної.

Нехай y = f (x) – рівняння кривої. Кутовий коефіцієнт tg  дотичної, проведеної до кривої в точ­ці з абсцисою x, є похідна функції f (x) по змінній x: tg  = f (x)

(задача 2, формула(2)).

Взагалі, якщо функція y = f (x) описує деякий процес, то серед­ньою швидкістю цього процесу (зміна y порівняно з x) на відрізку x можна вважати вираз:

,

а швидкість процесу при даному значенні x є похідна від функції y по x, тобто

.

З означення похідної (3) випливає й правило (спосіб) її зна­ходження.

Правило знаходження похідної.

Нехай y = f (x) – неперервна функція на [a, b] і a < x < b. Для знаходження похідної y = f  (x) потрібно:

1. Знайти значення функції в точці x: f (x).

2. Надати x приріст x і знайти значення функції в точці x + x: f (x + x).

3. Знайти приріст функції:

y = f (x + x) – f (x).

4. Знайти відношення

.

5. Знайти границю цього відношення при x  0 (якщо вона існує, то це й буде шукана похідна), тобто

.

Використаємо це правило для знаходження похідних деяких елементарних функцій.

Приклад. Знайти похідні функцій

а) y(x) = C (C=const); б) y(x) = x;

Розв’язання. а) Користуючись наведеним правилом, маємо:

1. y(x) = C. 2. y(x +x) = C. 3. y = C ‑ C = 0.

4. . 5. .

О тже, похідна сталої дорівнює нулеві:

, (C = const).

Геометричний зміст цього результату полягає в наступному. Лінія y = C – це пряма, паралельна осі Оx (рис.3). Дотична до цієї лінії в будь-якій її точці збігається з самою лінією і тому паралельна осі Оx. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює нулеві:

tg = tg 0 = 0.

б) Маємо: 1. y (x) = x. 2. y(x+ .

3. y = (x + x) – x = x. 4. .

.

!! Похідна незалежної змінної дорівнює одиниці: (x) = 1. !!

Диференційовність функції. Основні правила диференціювання

1. Зв’язок диференційовності і неперервності функції

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовною в точці x, якщо вона в цій точці має похідну.

У протилежному випадку, якщо границя не існує, функція не диференційовна в точці x.

Означення. Функція y = f (x) називається диференційовна в інтервалі ]a, b[, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Дія знаходження похідної функції y = f(x) називається диферен­ціюванням функції, а розділ математики, що вивчає похідну і все, з нею пов’язане, називається диференціальним численням.

Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційовна в точці x, то вона неперервна в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не має місця, тобто з не­перервності функції y = f (x) в точці x не випливає її диференційовність. Розглянемо цю ситуацію на прикладах.

Приклад. Функція визначена і неперервна на всій чис­ловій осі (як елементарна). Проте в точці x = 0 ця функція не є ди­ференційовною. Дійсно, при x = 0 і .

З точки зору геометрії крива є півкубічна парабола (рис.1), яка в точці x = 0 має вертикальну до­тич­ну (вісь Оy), кут нахилу якої  = 90° і tg  = tg 90° не існує.

Приклад. Розглянемо функцію y = |x| (рис.2), яка також неперервна при будь-якому x, але не диференційов­на при x = 0.

Дійсно, y = |x + x| – |x| і

, тобто y = |x| – неперервна функція при будь-якому x.

Для визначення диференційовності цієї функції розглянемо

.

Нехай x = 0. Тоді Оскільки

то

,

тобто не існує (1  ) і y = |x| не диференційовна при x = 0.

Геометрично цей випадок відрізняється від попереднього тим, що при x = 0 крива y = |x| не має взагалі дотичної. Ліворуч x = 0 до­тичною буде пряма y =  x (k = 1), а праворуч – пряма y = x (k = 1).

Отже, якщо y = f (x) не диференційовна при деякому x, то мо­жуть бути два випадки: або не існує взагалі (крива не має до­тичної при цьому x, рис. 2), або ця границя нескінченна (крива має вертикальну дотичну при цьому x, рис.1). В цьому випадку іноді го­ворять, що f (x) = . Але тоді функцію y = f (x) слід називати дифе­ренційовною в точці x, якщо вона має в цій точці скінченну похідну.