Розділ іv „диференціальне числення функції однієї змінної”

Похідна функції.

1. Задачі, що приводять до поняття похідної

Задача 1 (про швидкість прямолінійного нерівномірного руху).

У курсі фізики в середній школі вивчався рівномірний рух тіла, тобто такий рух, при якому за рівні проміжки часу тіло прохо­дить рівні за довжиною відрізки шляху. Як відомо, швидкість v такого руху є величина стала і

,

де s – віддаль, а t – час, за який вона подолана. Але такий рух дале­кий від реальності. Очевидно, що жодне тіло, що рухається (машина, людина і т. п.) не переміщується із сталою швидкістю. Тому виникла задача про визначення швидкості руху за реальних умов, тобто при нерівномірному русі.

Н ехай тіло рухається прямоліній­но і відомий закон, за яким змінюється від­даль s в залежності від часу t, що прой­шов від почат­ку руху, тобто відома функ­ція s = s(t), яка називається рів­нянням руху. Як знайти швидкість v цього руху у фіксований момент часу t, тобто v(t)? Нехай до моменту t тіло пройшло віддаль s(t) (на рис.1 s(t) = OA). Надамо часу t невеликий приріст t Тоді до моменту t + t тіло пройде віддаль s(t + t) (на рис.1 s(t + t) = OB), а за час t буде пройдено віддаль s = s(t + t) (на рис.1 s = AB). Тепер можна визначити середню швидкість руху v_С за проміжок часу від t до t + t, тобто за час t:

.

Якщо тепер зменшити t, наприклад, взяти t₁ = 0,1t, то і v_C буде, очевидно, змінюватися. При цьому момент t + t₁ буде ближчим до моменту t і можна вважати, що нове значення буде краще характеризувати реальну швидкість в момент t.

Означення. За величину швидкості v(t) в момент часу t при прямолінійному русі приймають границю середньої швидкості v_C, яка відповідає проміжку часу [t, t + t] при t  0 , тобто

. (1)

Величина v_t називається миттєвою швидкістю.

Задача 2 (про дотичну до кривої).

Розглянемо деяку криву, що задається в системі координат Oxy рівнянням y = f (x). Нехай A(x₀, _,f (x₀)) – точка цiєї кривої (рис.2).

О значення. Дотичною AT до кривої в точці A, що лежить на кривій, називається граничне по­ложення її січної AB, якщо точка B прямує до точки A по кривій.

Проведемо в точці A дотич­ну і будемо визначати її кутовий ко­ефіцієнт. Нагадаємо, що куто­вим коефіцієнтом прямої називається тангенс кута, утвореного цією пря­мою з додатним напрямом осі Ox:

k = tg .

Отже, потрібно знайти тангенс кута між дотичною AT і віссю Оx.

Надамо абсцисі x₀ приріст x і від точки A перейдемо до точки B з координатами (x₀ + x, f (x₀ + x)) (рис.2, AB – січна). Із ABC визначимо tg , де  – кут нахилу січної AB до осі Оx, тобто  = CAB. Очевидно, що

.

Нехай . Тоді, згідно з означенням, січна AB прямуватиме до дотичної AT, при цьому і . Тому

. (2)

Таким чином, усі чотири задачі з абсолютно різних областей приводять до того, що формально для розв’язку задач потрібно визначити одну і ту ж величину.

Дійсно, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначи­ти через x, а залежну змінну – через y, то розв’язок кожної із задач знаходиться за допомогою граничного переходу у відношенні при x  0, тобто за допомогою границі . Цю границю в ма­тема­тиці називають похідною.