Понятие динамической системы

Выше мы рассмотрели теоретико – множественный подход к опреде - лению системы. Однако существует и другой подход – функционально- временной , когда система рассматривается как некоторое устройство , в которое что – то (энергия, информация, вещество) вводится и что – то из него выводится. Предварительно остановимся на некоторых понятиях.

Процесс (лат. processus – продвижение) – последовательная смена во времени явлений, событий, состояний, либо множество последовательных действий, направленных на достижение какого – либо конечного результата (цели).

Переменные (координаты) процесса – это наиболее существенные параметры, характеризующие состояние процесса и изменяющие свои значения во времени.

{ xi } = X.

Выбор переменных процесса – задачи.

Состояние процесса в момент времени tk - это множество значений переменных в этот момент времени: { xi ( tk ) },

где tk∈ T, T – множество моментов времени.

3

2

1

tk t

В каждый момент времени t ∈ T система S получает некоторое входное воздействие U(t) и порождает некоторую выходную величину y(t). Будем полагать , что значения входных воздействий U(t) выбираются из некоторого фиксированного множества U , т.е. ∀ t: ui(t) ∈ U. В общем случае отрезок входного воздействия не может быть произвольной функцией, а должен принадлежать узкому классу Ω , т.е. ω: (t₁, t₂) →U, где ω ∈ Ω, ω(t₁,t₂) ∈ Ω. Выбор Ω диктуется либо физическими соображениями, либо математическими потребностями. Мгновенные значения выходной вели – чины y(t) также принадлежат некоторому фиксированному множеству Y , т.е. y(t) ∈ Y и на выходные величины также могут быть наложены ограничения γ: γ(t₂, t₃) →Y, где γ ∈ Г – допустимые отрезки выходных величин.

В общем случае значение выходной величины системы зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздейстивия. /Сравни: система в момент воздействия была или в сос – тоянии покоя, или же находилась в движении из – за действия предыду – щих входных величин./. Чтобы не различать эти два случая , лучше говорить , что текущее значение выходной величины y(t) системы S зависит от состояния системы.

Y=f(x,u) , Y=f(x).

Состояние системы – это есть некоторая (внутренняя) характеристика системы {xi} , значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины {Yj} и оказывает влияние на её будущее.

T x x → Y .

При этом знание состояния x(t₁) и отрезка входных воздействий ω=ω(t₁,t₂) должно быть необходимым и достаточным условием , позволяющим определить состояние x(t₂) = ϕ(t₂;t₁,x(t₁),ω) каждый раз, когда t₁<t₂. При этом множество Т упорядочено , т.е. в нём определено направление. Обычно направление Т таково , что прошлое предшествует будущему и влияет на него, но не наоборот. Поэтому математическое понятие динамической (причинной) системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

Определение 1. Динамической системой S называется сложное математическое понятие , определяемое следующими аксиомами:

a). Заданы множество моментов времени T, множество состояний X, множество мгновенных значений входных воздействий U, множество допустимых входных воздействий Ω={ω : T →U}, множество мгновенных значений выходных величин Y и множество допустимых выходных величин Г = { γ: T →Y}.

b). (Направление времени). Множество Т есть некоторое упорядоченное подмножество множества вещественных чисел.

c). Множество входных воздействий Ω удовлетворяет условиям нетривиальности (Ω≠∅) и сочленения входных воздействий на заданном отрезке.

d). Существует переходная функция состояния:

ϕ : T х T х X х Ω → X

значениями которой служат состояния x(t) = ϕ(t; τ, x(τ), ω) ∈X, в которых оказывается система в момент времени t∈T, если в начальный момент времени τ∈T она была в начальном состоянии x(τ) ∈ X и если на неё действовало входное воздействие ω ∈ Ω⊂U. При этом ϕ должно обладать следующими свойствами:

1. направленности времени, т.е. ϕ определена для всех t ≥τ и не обязательно для t<τ.

2. Согласованности: ∀t, ∀x, ∀ω: ϕ(t; t, x, ω) = x.

3. Полугрупповое свойство: для любых t₁<t₂<t₃, ∀x, ∀ω: ϕ(t₃;t₁;x,ω) = ϕ(t₃; t₂, ϕ(t₂; t₁, x, ω), ω).

4. Причинности: если ω, ωʹ ∈ Ω и ω(τ, t) = ωʹ(τ, t), то ϕ(t; τ, x, ω)=ϕ(t; τ, x,ωʹ), т.е. одна причина вызывает одно следствие.

5. Наблюдаемости: ϕ→(А, В, x, u), η→(C, x):

∙x₁

X = Ax + Bu x₂

Y = Cx x₃

t₁

Y(t₁) = ∑ Ci xi( t₁)

e). Задано выходное отображение η: Т x X → Y, определяющее выходные величины y(t) = η[t, x(t)]. Отображение (τ, t] → Y, задаваемое соотношением δ → η[δ, ϕ(δ, τ, x, ω)], δ∈(τ, t], называется отрезком выходной величины, т.е. сужением γ(τ, t] некоторого γ∈ Г на (τ, t].

Таким образом, динамическая система S есть восьмёрка

S = (T, X, U, Ω, Y, Г, ϕ, η).

Дополним это определение некоторыми другими терминами.

Пара (τ, x), где τ∈Т и x∈X называется событием /фазой/ системы.

Множество T х X – пространство событий /фазовое пространство/ системы.

Примечание. Иногда фазовое пространство называется пространством состояний. Переходная функция состояний ϕ (её график в пространстве событий) называется несколькими эквивалентными терминами: движением, траекторией, орбитой, потоком, решением, диф. уравнением, кривой решения и т.д. Говорят, что входное воздействие /или управление ω/ переводит (переносит, изменяет, преобразует) состояние x(τ) /или событие (τ, x)/ в состояние x(t) = (t; τ, x, ω) /или в событие (t,ϕ(t; τ, x, ω)) /. Говоря о движении системы S , имеют в виду функцию состояния ϕ.

Примечание. Данное понятие динамической системы является достаточно общим для того, чтобы выработать общую терминологию, но недостаточно конкретно, чтобы получать новые математические результаты.

Упрощённые варианты описания динамической системы (по другим источникам):

1) S : Ω χ Г, или S : U χ Y, S : Ω χ Y, S : U χ Г – система, определяемая данным соотношением называется функциональной системой “вход - выход”, или же “чёрным ящиком”. Модель функционирования системы в виде “чёрного ящика” отображает только связи системы с внешней средой в виде перечня “входов” и “выходов”.