3. Геометрическая интерпретация злп в канонической форме.

Геометрическую интерпретацию ЗЛП в канонической форме рассмотрим в частном случае, когда число переменных n на два больше, чем число независимых уравнений m, которым они должны удовлетворять: n-m=2. Тогда две из n переменных, скажем x₁ и x₂, можно выбрать в качестве свободных, а остальные m сделать базисными и выразить из через свободные. Предположим, что это сделано. Получим m=n-2 уравнений вида:

x ₃ = ₃₁x₁ + ₃₂x₂ + ₃

x₄ = ₄₁x₁ + ₄₂x₂ + ₄ (4)



x_n = _n1x₁ + _n2x₂ + _n

Дадим ЗЛП геометрическую интерпретацию. Переменные x₁ , x₂ ,…, x_n должны удовлетворять условию неотрицательности, т.е.:

x₃ = ₃₁x₁ + ₃₂x₂ + ₃  0

x₄ = ₄₁x₁ + ₄₂x₂ + ₄  0 (5)



x_n = _n1x₁ + _n2x₂ + _n  0

x₁ 0, x₂ 0

Построим область допустимых решений, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Б

ОДР

ез штриховки обозначена “допустимая сторона”, где соответствующая переменная больше нуля.

Если ОДР не пуста, то возникает вопрос о нахождении из числа допустимых оптимального решения, т.е. такого, которое обращает, например, в максимум целевую линейную функцию

z= c₁x₁ + c₂x₂+ …+ c_nx_n (6)

Рис.9 Область допустимых решений (ОДР)

Чтобы решить поставленную задачу, выразим целевую функцию через свободные переменные x₁ и x₂. Для этого подставим выражения для переменных x₃, x₄, …, x_n из (4) в целевую функцию (6) и после приведения подобных членов получим

z = ₀ + ₁x₁ + ₂x₂ (7)

где ₀ – свободный член, которого в первоначальном виде y функции z не было, но при переходе к переменным x₁, x₂ он мог появиться. Теперь, используя геометрическую интерпретацию ОДР и целевую функцию (7), выраженную через две переменные (x₁, x₂), мы можем геометрически найти решение задачи (x₁^*, x₂^*). Зная значение свободных переменных x₁^*, x₂^* можно найти, подставляя их в (4), и значения базисных переменных и значение целевой функции.

Пример

Используя геометрическую интерпретацию решить ЗЛП в канонической форме:

z = -16x₁ – x₂ + x₃ + 5x₄ + 5x₅  max

при ограничениях

2x₁ + x₂ + x₃ = 110

-2x₁ + 3x₂ + x₄ = 6

2x₁ + 4x₂ – x₅ = 8

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅  0

Решение

Количество переменных n=5, а количество уравнений m=3, т.е. n-m=2. Воспользуемся изложенным выше способом решения ЗЛП. Из ограничений видно, что в качестве свободных переменных можно взять x₁ и x₂. Тогда базисные переменные x₃, x₄, x₅ выражаются через свободные следующим образом:

x₃ = 10 – 2x₁ – x₂

x₄ = 6 + 2x₁ – 3x₂

x₅ = 2x₁ + 4x₂ – 8

Учитывая условия неотрицательности переменных x₁, …, x₅, получим систему неравенств, определяющую ОДР задачи

2x₁ + x₂  10

-2x₁ + 3x₂  6

2x₁ + 4x₂  8

x₁  0, x₂  0

Выразим целевую функцию через свободные переменные x₁ и x₂ :

z =-16x₁-x₂+x₃+5x₄+5x₅=-16x₁-x₂+(10–2x₁–x₂)+5(6+ 2x₁ – 3x₂)+5(2x₁ + 4x₂ – 8)

Итак, мы получили следующую ЗЛП в стандартной форме:

z = 2x₁ + x₂  max

2x₁ + x₂  10 (а)

-2x₁ + 3x₂  6 (б)

2x₁ + 4x₂  8 (в)

x₁  0, x₂  0

Найдем решение этой задачи используя ее геометрическую интерпретацию:

(б)

(в)

Рис.10 Геометрическое решение ЗЛП

Этим решением является x₁^*=3, x₂^*=4, доставляющие максимум целевой функции z^*=18. Подставляя значения x₁^*, x₂^* в выражения для базисных переменных x₃, x₄, x₅ найдем x₃^*= 0, x₄^*= 0 и x₅^*= 14. Итак, решением исходной ЗЛП является x₁=3, x₂=4, x₃=0, x₄=0, x₅=14 и при этом целевая функция достигает своего максимума z=18.