Теорема (умова оптимальності опорного плану транспортної задачі).

Якщо для деякого опорного плану Х^*=(х_ij^*) існують потенціали u_i, v_j, для яких виконуються умови

u_i + v_j = с_ij для всіх значень і, j , для яких х_ij > 0;

u_i + v_j с_ij для всіх значень і, j , для яких х_ij = 0,

то він є оптимальним планом транспортної задачі.

Якщо хоча б для однієї клітинки ця умова не виконується, тобто u_i + v_j > с_ij, то поточний план не є оптимальним і від нього переходять до нового опорного плану.

Перехід від одного опорного плану до іншого виконується заповненням клітинки, у якій порушено умову оптимальності. Якщо таких клітинок декілька, то обирають ту для якої значення є найбільшим.

Для вибраної клітинки будують цикл перерахування та виконують перерозподіл продукції в межах цього циклу за такими правилами:

1) кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці – знак «+», а всім іншим по черзі – знаки «–» та «+»;

2) у порожню клітинку переносять менше з чисел х_ij, що стоять у клітинах зі знаком «–». Одночасно це число додають до відповідних чисел, які розміщуються в клітинках зі знаком «+».

У результаті цих дій клітинка, яка була вільною, стає заповненою, а відповідна клітинка з мінімальним числом х_ij стане порожньою. У результаті такого перерозподілу продукції отримується новий опорний план транспортної задачі.

Етап 5. Далі повторюються кроки алгоритму, починаючи з кроку 3.

Розглянемо застосування методу потенціалів на прикладі.

Приклад.

Розв’язати методом потенціалів транспортну задачу, умова якої надається таблицею 8.6.

Таблиця 8.6

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2	5	3	1	250
A2	3	4	5	2	150
A3	4	5	3	4	200
Потреби	180	150	170	100	600

Розв’язання

Початковий опорний план ТЗ, який отримано методом північно-західного кута, наведено в таблиці 8.7.

Таблиця 8.7

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3	1	250
A2	3	4 80	5 70	2	150
A3	4	5	3 100	4 100	200
Потреби	180	150	170	100	600

Для визначення потенціалів u_i, v_j сформуємо відповідну систему рівнянь:

u ₁ + v₁ = 2,

u₁ + v₂ = 5,

u₂ + v₂ = 4,

u₂ + v₃ = 5,

u₃ + v₃ = 3,

u₃ + v₄ = 4.

Покладемо в системі u₁ = 0, й отримаємо потенціали початкового опорного плану ТЗ. Вони рівні:

v₁ = 2, v₂ = 5, v₃ = 6, v₄ = 7, u₂ = -1, u₃ = -3.

Занесемо отримані потенціали в таблицю 8.8.

Таблиця 8.8

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3	1	250	u1 = 0
A2	3	4 80	5 70	2	150	u2 = -1
A3	4	5	3 100	4 100	200	u3 = -3
Потреби	180	150	170	100	600
	v1 = 2	v2 = 5	v3 = 6	v4 = 7

Перевіримо виконання умов оптимальності для незаповнених клітинок таблиці 8.8.

u ₁ + v₃ = 6 3 – ?

u₁ + v₄ = 7 1– ?

u₂ + v₁ = 1 3,

u₂ + v₄ = 6 2 – ?

u₃ + v₁ = -1 4,

u₃ + v₂ = 2 5.

З наведених нерівностей випливає, що умова оптимальності не виконується для клітинок (1.3), (1.4) і (2.4). Тому необхідно перейти до нового опорного плану.

Оберемо клітинку, для якої необхідно здійснити цикл перерахування. Для її вибору обчислимо

₁₃ = (u₁ + v₃) – с₁₃ = 0 + 6 – 3 = 3,

₁₄ = (u₁ + v₄) – с₁₄ = 0 + 7 – 1 = 6,

₂₄ = (u₂ + v₄) – с₂₄ = –1 + 7 – 2 = 4 .

max _ij = 6.

Отже, цикл перерахування слід здійснити для клітинки (1.4). Виконання перерозподілу продукції в межах циклу можна оцінити з таблиці 8.9.

Таблиця 8.9

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70 –	3	1 +	250
A2	3	4 80 +	5 70 –	2	150
A3	4	5	3 100 +	4 100 –	200
Потреби	180	150	170	100	600

При цьому в клітинки (1.4), (2.2) і (3.2) переноситься 70 одиниць продукції, а з клітинок (1.2), (2.3) і (3.4) така ж кількість продукції вилучається. З урахуванням цього новий план ТЗ матиме вигляд (табл. 8.10). Він є виродженим.

Таблиця 8.10

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5	3	1 70	250
A2	3	4 150	5	2	150
A3	4	5	3 170	4 30	200
Потреби	180	150	170	100	600

Оскільки план з таблиці 8.10 виявився виродженим здійснимо цикл перерахування для клітинки (2.4). Виконання перерозподілу продукції в межах циклу можна оцінити з наступної таблиці (табл. 8.11).

Таблиця 8.11

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3		250
A2	3	4 80	5 70 –	2 +	150
A3	4	5	3 100 +	4 100 –	200
Потреби	180	150	170	100	600

При цьому в клітинки (2.4) і (3.3) переноситься 70 одиниць продукції, а з клітинок (2.3) і (3.4) така ж кількість продукції вилучається. З урахуванням цього новий план ТЗ матиме вигляд (табл. 8.12).

Таблиця 8.12

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3	1	250	u1 = 0
A2	3	4 80	5	2 70	150	u2 = -1
A3	4	5	3 170	4 30	200	u3 = 1
Потреби	180	150	170	100	600
	v1 = 2	v2 = 5	v3 = 2	v4 = 3

Для визначення потенціалів u_i, v_j нового невиродженого плану сформуємо відповідну систему рівнянь:

u ₁ + v₁ = 2,

u₁ + v₂ =5,

u₂ + v₂ = 4,

u₂ + v₄ = 2,

u₃ + v₃ = 3,

u₃ + v₄ = 4.

Покладемо в системі u₁ = 0, й отримаємо потенціали початкового опорного плану ТЗ. Вони рівні:

v₁ = 2, v₂ = 5, v₃ = 2, v₄ = 3, u₂ = -1, u₃ = 1.

Занесемо отримані потенціали в таблицю 8.12. Перевіримо виконання умов оптимальності для незаповнених клітинок таблиці 8.12.

u ₁ + v₃ = 2 3 ,

u₁ + v₄ = 3 1– ?

u₂ + v₁ = 1 3,

u₂ + v₃ = 1 5,

u₃ + v₁ = 3 4,

u₃ + v₂ = 6 5– ?

З наведених нерівностей випливає, що умова оптимальності не виконується для клітинок (1.4) і (3.2). Тому необхідно перейти до нового опорного плану.

Оберемо клітинку, для якої необхідно здійснити цикл перерахування. Для її вибору обчислимо

₁₄ = (u₁ + v₄) – с₁₄ = 0 + 3 – 1 = 2,

₃₂ = (u₃ + v₂) – с₃₂ = 1 + 5 – 5 = 1 .

max _ij = 2.

Отже, цикл перерахування слід здійснити для клітинки (1.4), але при цьому знов отримаємо вироджений опорний план ТЗ. Тому, здійснимо цикл перерахування для клітинки (3.2) (табл. 8.13).

Таблиця 8.13

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3	1	250
A2	3	4 80 –	5	2 70 +	150
A3	4	5 +	3 170	4 30 –	200
Потреби	180	150	170	100	600

При цьому в клітинки (2.4) і (3.2) переноситься 30 одиниць продукції, а з клітинок (2.2) і (3.4) така ж кількість продукції вилучається. З урахуванням цього новий план ТЗ матиме вигляд (табл. 8.14).

Таблиця 8.14

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70	3	1	250	u1 = 0
A2	3	4 50	5	2 100	150	u2 = -1
A3	4	5 30	3 170	4	200	u3 = 0
Потреби	180	150	170	100	600
	v1 = 2	v2 = 5	v3 = 3	v4 = 3

Для визначення потенціалів u_i, v_j нового невиродженого плану сформуємо відповідну систему рівнянь:

u ₁ + v₁ = 2,

u₁ + v₂ =5,

u₂ + v₂ = 4,

u₂ + v₄ = 2,

u₃ + v₂ = 5,

u₃ + v₃ = 3.

Покладемо в системі u₁ = 0, й отримаємо потенціали початкового опорного плану ТЗ. Вони рівні:

v₁ = 2, v₂ = 5, v₃ = 3, v₄ = 3, u₂ = -1, u₃ = 0..

Занесемо отримані потенціали в таблицю (табл. 8.14).

Перевіримо виконання умов оптимальності для незаповнених клітинок таблиці 8.14

u ₁ + v₃ = 2 3 ,

u₁ + v₄ = 3 1– ?

u₂ + v₁ = 1 3,

u₂ + v₃ = 2 5,

u₃ + v₁ = 2 4,

u₃ + v₄ = 3 4.

З наведених нерівностей випливає, що умова оптимальності не виконується для клітинки (1.4). Тому необхідно перейти до нового опорного плану.

Таблиця 8.15

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5 70 –	3	1 +	250
A2	3	4 50 +	5	2 100 –	150
A3	4	5 30	3 170	4	200
Потреби	180	150	170	100	600

При цьому в клітинки (1.4) і (2.2) переноситься 70 одиниць продукції, а з клітинок (1.2) і (3.4) така ж кількість продукції вилучається. З урахуванням цього новий план ТЗ матиме вигляд (табл. 8.16).

Таблиця 8.16

Пункти	Споживачі				Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	2 180	5	3	1 70	250	u1 = 0
A2	3	4 120	5	2 30	150	u2 = 1
A3	4	5 30	3 170	4	200	u3 = 2
Потреби	180	150	170	100	600
	v1 = 2	v2 = 3	v3 = 3	v4 = 1

Для визначення потенціалів u_i, v_j нового невиродженого плану сформуємо відповідну систему рівнянь:

u ₁ + v₁ = 2,

u₁ + v₄ =1,

u₂ + v₂ = 4,

u₂ + v₄ = 2,

u₃ + v₂ = 5,

u₃ + v₃ = 3.

Покладемо в системі u₁ = 0, й отримаємо потенціали початкового опорного плану ТЗ. Вони рівні:

v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 3, v₄ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2.

Занесемо отримані потенціали в таблицю 8.16.Перевіримо виконання умов оптимальності для незаповнених клітинок таблиці 8.16

u ₁ + v₂ = 3 5 ,

u₁ + v₃ = 3 3,

u₂ + v₁ = 3 3,

u₂ + v₃ = 4 5,

u₃ + v₁ = 4 4,

u₃ + v₄ = 3 4.

З наведених нерівностей випливає, що умова оптимальності виконується для клітинки всіх перевірених клітин. Отже, опорний план є оптимальним.

Таким чином,

Х^* = (х₁₁ = 180; х₁₄ = 70; х₂₂ = 120; х₂₄ = 30; х₃₂ = 30; х₃₃ = 170).

При цьому

F_min = 180*2 + 70*1 + 120*4 + 30*2 + 30*5 + 170*3 = 1630 одиниць вартості.